求微分方程xy'+y=xe^-2x的通解

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 08:21:57

求微分方程xy'+y=xe^-2x的通解
求微分方程xy'+y=xe^-2x的通解

求微分方程xy'+y=xe^-2x的通解
xy'+y=xe^-2x
y'+y/x=e^(-2x)
y'+f(x)y=g(x)公式解法y=e^(-ff(x)dx) . [fg(x)e^(ff(x)dx)dx+c]积分不必带常数,即ff(x)dx不用带常数
f(x)=1/x g(x)=e^(-2x)
ff(x)dx=f(1/x)dx=lnx e^(lnx)=x
fg(x)e^(lnx)dx
=fxe^(-2x)dx
=-1/2[fxde^(-2x)]
=-1/2[xe^(-2x)-fe^(-2x)dx]
=-1/2xe^(-2x)-1/4e^(-2x)
y=e^(-lnx)[-1/2xe^(-2x)-1/4e^(-2x)+C]
y=1/x [-1/2xe^(-2x)-1/4e^(-2x)+c]
y=-1/2e^(-2x)-e^(-2x)/(4x)+c/x
y'+f(x)y=g(x)公式解法
公式推理；
y'+f(x)y=0
1/ydy=-f(x)dx
lny=-f f(x)dx
y=e^(-ff(x)dx)
设通解y=ue^(-ff(x)dx)
y'=(u'-uf(x))e^(-ff(x)dx)
y'+f(x)y=g(x), 将上式代入
u'e^(-ff(x)dx)=g(x)
u'=g(x)e^(ff(x)dx)
u=fg(x)e^(ff(x)dx)dx+c
y=e^(-ff(x)dx) . [fg(x)e^(ff(x)dx)dx+c]
以上积分不必带常数,即ff(x)dx不用带常数

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