求证：在锐角三角形ABC中,sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 01:40:43
求证：在锐角三角形ABC中,sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC.

求证：在锐角三角形ABC中,sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC.
求证：在锐角三角形ABC中,sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC.

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sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
sin（π/2－α）＝cosα
所以所证不等式转化为：
[sinA-sina(π/2-A)]+[sinB-sina(π/2-B)]+[sinC-sina(π/2-C)]>0
2cosπ/4[sin(A-π/4)+sin(B-π/4)+sin(C-π/4)]>0
由于是锐角三角形,A-π/4,B-π/4,C-π/4中最多只有一个小于零.
不妨设C-π/40,那么0>C-π/4>-π/4,0>sin(C-π/4)>-sinπ/4.
而剩下的两个角中,一定有一个大于π/4,所以
sin(A-π/4)+sin(B-π/4)+sin(C-π/4)>0
2cosπ/4>0
故而
2cosπ/4[sin(A-π/4)+sin(B-π/4)+sin(C-π/4)]>0
原不等式得证.

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