设函数f(x)=x-ln(x+2),证明:函数f(x)在[e^(-2)—2,e^4—2]内有2个零点~

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/02 04:43:43
设函数f(x)=x-ln(x+2),证明:函数f(x)在[e^(-2)—2,e^4—2]内有2个零点~

设函数f(x)=x-ln(x+2),证明:函数f(x)在[e^(-2)—2,e^4—2]内有2个零点~
设函数f(x)=x-ln(x+2),证明:函数f(x)在[e^(-2)—2,e^4—2]内有2个零点~

设函数f(x)=x-ln(x+2),证明:函数f(x)在[e^(-2)—2,e^4—2]内有2个零点~
函数f(x)=x-㏑(x+2).该函数定义域为(-2,+∞),显然,-2<e^(-2)-2<-1<(e^4)-2.又f[e^(-2)-2]=[e^(-2)-2]-㏑[e^(-2)]=e^(-2)-2+2=e^(-2)>0.f(-1)=(-1)-㏑(-1+2)=-1<0,f[(e^4)-2]=[(e^4)-2]-㏑(e^4)=(e^4)-6>0.(一)在区间[e^(-2)-2,-1]上,f[e^(-2)-2]>0,f(-1)<0.∴由“零点存在定理”可知,函数f(x)在区间[e^(-2)-2,-1]内必有一个零点.(二)同理,函数f(x)在区间[-1,e^4-2]内必有一个零点.综上,函数f(x)在[e^(-2)-2,e^4-2]内至少有两个零点.【注:只能这样了,你没有学过导数,函数的单调性无法证明】

f'(x)=1-1/(x+2),f'(x)=0,x=-1.
在[e^(-2)—2,-1)区间,f'(x)<0,单调递减;
在(-1,e^4—2]上f'(x)>,函数单调递增。
f(-1)=-1<0.根据单调性,以及f(-1)<0,f(e^(-2)—2)>0,f(e^4—2)>0,在练习本上画出图像,可得:函数f(x)在[e^(-2)—2,e^4—2]内有2个零点

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