设函数f(x)=x-ln(x+2),证明函数f(x)在[e^-2-2,e^4-2]内至少有两个零点

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/02 06:37:50
设函数f(x)=x-ln(x+2),证明函数f(x)在[e^-2-2,e^4-2]内至少有两个零点

设函数f(x)=x-ln(x+2),证明函数f(x)在[e^-2-2,e^4-2]内至少有两个零点
设函数f(x)=x-ln(x+2),证明函数f(x)在[e^-2-2,e^4-2]内至少有两个零点

设函数f(x)=x-ln(x+2),证明函数f(x)在[e^-2-2,e^4-2]内至少有两个零点
证明
f'(x)=1-1/(x+2)
=(x+2-1)/(x+2)
=(x+1)/(x+2)
令f'(x)>=0
∴x>=-1
定义域是x>-2
∴f(x)增区间是[-1,+∞),减区间是(-2,-1)
f(-1)=-1-ln1=-10
f(e^4-2)=e^4-2-lne^4=e^4-6>0
∴f(x)在区间[e^(-2)-2,-1]有1个零点
在(-1,e^4-2]有1个零点
综上,f(x)在区间[e^(-2)-2,e^4-2]有2个零点