作业帮比根号6+根号5的和的6次方大的最小整数是为什么要将(√6+√5)^6加上(√6-√5)^6
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 10:42:32
比根号6+根号5的和的6次方大的最小整数是为什么要将(√6+√5)^6加上(√6-√5)^6
比根号6+根号5的和的6次方大的最小整数是为什么要将(√6+√5)^6加上(√6-√5)^6
比根号6+根号5的和的6次方大的最小整数是为什么要将(√6+√5)^6加上(√6-√5)^6
∵6-5=(√6+√5)(√6-√5)=1
∴√6-√5=1/(√6+√5)
∴0＜√6-√5＜1
∴0＜(√6-√5)^6＜1
∴(√6+√5)^6＜(√6+√5)^6+(√6-√5)^6＜(√6+√5)^6+1
又：(√6+√5)^6+(√6-√5)^6可以得到一个整数,这个整数就是比(√6+√5)^6大的最小整数
【备注,当n为偶数时,(√a+√b)^n+(√a-√b)^n展开后,√a的奇次项（同时也是√b的奇次项恰好互相消掉,剩下的全是偶此项,故所得结果不含根号,a、b为整数时,结果也为整数】
设a＝√6＋√5，b＝√6－√5
∴a＋b＝2√6，ab＝1（这里用到平方差公式）
∴a^2＋b^2＝(a＋b)^2－2ab＝22
∴a^6＋b^6
＝(a^2)^3＋(b^2)^3
＝(a^2＋b^2)^3－3 × a^2 × b^2 × (a^2＋b^2)
＝22^3－3×1^2×22
＝10582
∵b＝√6－√5＝4/(√6＋...
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设a＝√6＋√5，b＝√6－√5
∴a＋b＝2√6，ab＝1（这里用到平方差公式）
∴a^2＋b^2＝(a＋b)^2－2ab＝22
∴a^6＋b^6
＝(a^2)^3＋(b^2)^3
＝(a^2＋b^2)^3－3 × a^2 × b^2 × (a^2＋b^2)
＝22^3－3×1^2×22
＝10582
∵b＝√6－√5＝4/(√6＋√5)＜1
∴0＜b^3＜1
∴10581＜a^6＝10582－b^3＜10582
从而比a^6大的最小整数为10582
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因为要求比(√6+√5)^6大的最小整数，所以，得 (√6+√5)^6+(√6-√5)^5 ，这是由于以下三个原因：
1）(√6+√5)^6<(√6+√5)^6+(√6-√5)^6 ，这是显然的；
2）(√6+√5)^6+(√6-√5)^6 确为一个整数 ；这个结论可由二项式定理得到：
(√6+√5)^6+(√6-√5)^6=2*[(√6)^6+15*(√6)^4*(√5)...
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因为要求比(√6+√5)^6大的最小整数，所以，得 (√6+√5)^6+(√6-√5)^5 ，这是由于以下三个原因：
1）(√6+√5)^6<(√6+√5)^6+(√6-√5)^6 ，这是显然的；
2）(√6+√5)^6+(√6-√5)^6 确为一个整数 ；这个结论可由二项式定理得到：
(√6+√5)^6+(√6-√5)^6=2*[(√6)^6+15*(√6)^4*(√5)^2+15*(√6)^2*(√5)^4+(√5)^6]
=2*(216+15*36*5+15*6*25+125)=10582 。
3）0<(√6-√5)^6<1 ；事实上，(√6+√5)(√6-√5)=1 ，因此 √6-√5=1/(√6+√5)<1 。
由以上三个结论可知，比 (√6+√5)^6大的最小整数为 10582 。
加上 (√6-√5)^6 这种做法，在数学上叫对偶，就是利用对偶式，构造一种结构，通过转化能够得到一些附加的结论。
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