已知f(x)=x+根号(2x+1) 证明f(x)在定义域内是增函数,求f(x)的最小值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 10:34:48
已知f(x)=x+根号(2x+1) 证明f(x)在定义域内是增函数,求f(x)的最小值

已知f(x)=x+根号(2x+1) 证明f(x)在定义域内是增函数,求f(x)的最小值
已知f(x)=x+根号(2x+1) 证明f(x)在定义域内是增函数,求f(x)的最小值

已知f(x)=x+根号(2x+1) 证明f(x)在定义域内是增函数,求f(x)的最小值
定义域:2x+1>=0,即x>=-1/2
设x1>x2>=-1/2
f(x1)-f(x2)=[x1+根号(2x1+1)]-[x2+根号(2x2+1)]
=(x1-x2)+[根号(2x1+1)-根号(2x2+1)](分子有理化得)
=(x1-x2)+[(2x1+1)-(2x2+1)]/[根号(2x1+1)+根号(2x2+1)]
=(x1-x2)+2(x1-x2)/[根号(2x1+1)+根号(2x2+1)]
由于x1-x2>0,上式分母大于0
故有:f(x1)-f(x2)>0
故f(x)在定义域内是增函数,
(2)由递增函数得,当x=-1/2时.取得最小值是:
f(-1/2)=-1/2.

2x+1>=0 x>=-1/2
设x1>x2>=-1/2
f(x1)-f(x2)=x1-x1+根号(2x1+1)-根号(2x2+1)=x1-x2+[(2x1-2x2)/(根号(2x1+1)+根号(2x2+1)=)]>0 f(x1)>f(x2)
所以是增函数
f(x)最小=f(-1/2)=-1/2