作业帮如何证明：矩形内任意一点,到相对两个顶点的平方和相等?（除了用平面直角坐标系）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 08:07:44
如何证明：矩形内任意一点,到相对两个顶点的平方和相等?（除了用平面直角坐标系）
如何证明：矩形内任意一点,到相对两个顶点的平方和相等?（除了用平面直角坐标系）
如何证明：矩形内任意一点,到相对两个顶点的平方和相等?（除了用平面直角坐标系）
我讲一下思路吧
过这一点向矩形的四条边做垂线
然后将利用勾股定理就行了
这很容易阿，过这点作两条线分别平行 两边，把矩形分割成4个小矩形。这个平方和分别等于这些小矩形的边长的平方和
书不好好读，一个错误的问题引得这么多人来回答，想想三角函数：C×C =(A×A + B×B) + A×B×cos(AB夹角)，一目了然
通过这一点想四边作垂线，将四个平方分别通过勾股定理用这四条垂线表示出来，即可
设有矩形内任一点，至顶点1距离为x1，至与顶点1相对的顶点3为x2，至顶点2为y1，至与顶点2相对的顶点4为y2。设矩形边长分别是a，b，矩形内该点到矩形边的垂线将边长a分为a1，a2，将边长b分为b1，b2。
根据勾股定理，得:
x1*x1=a1*a1+b1*b1
x2*x2=a2*a2+b2*b2
y1*y1=a1*a1+b2*b2
y2*y2=a2*a...
全部展开
设有矩形内任一点，至顶点1距离为x1，至与顶点1相对的顶点3为x2，至顶点2为y1，至与顶点2相对的顶点4为y2。设矩形边长分别是a，b，矩形内该点到矩形边的垂线将边长a分为a1，a2，将边长b分为b1，b2。
根据勾股定理，得:
x1*x1=a1*a1+b1*b1
x2*x2=a2*a2+b2*b2
y1*y1=a1*a1+b2*b2
y2*y2=a2*a2+b1*b1
合并可得矩形内任意一点到相对的两个顶点的距离的平方和相等。
收起
设矩形中心在原点，边长为2a，2b，则4个顶点的坐标为：(-a,b) (a,b) (a,-b) (-a,-b)
矩形内的点P（x，y）（|x|<=a, |y|<=b)
点P到(-a,b) 、(a,-b) 的距离平方和为：
A=(x-(-a))^2+(y-b)^2+(x-a)^2+(y-(-b))^2=(x+a)^2+(y-b)^2+(x-a)^2+(y+b)^2...
全部展开
设矩形中心在原点，边长为2a，2b，则4个顶点的坐标为：(-a,b) (a,b) (a,-b) (-a,-b)
矩形内的点P（x，y）（|x|<=a, |y|<=b)
点P到(-a,b) 、(a,-b) 的距离平方和为：
A=(x-(-a))^2+(y-b)^2+(x-a)^2+(y-(-b))^2=(x+a)^2+(y-b)^2+(x-a)^2+(y+b)^2
点P到(a,b) 、(-a,-b) 的距离平方和为：
B=(x-a)^2+(y-b)^2+(x-(-a))^2+(y-(-b))^2=(x-a)^2+(y-b)^2+(x+a)^2+(y+b)^2
A=B
所以，矩形内任意一点，到相对两个顶点的平方和相等
晕 看错题了哦，除了用直角坐标系，我看成用直角坐标系了。
过矩形内点做两平行线平行矩形的两边，将矩形分成4个小矩形
根据勾股定理 则内点到顶点的距离平方和正好是分割的矩形边的平方和
设矩形ABCD内一点为P,
过P做EF、GH，
EF∥AB,交AD与E,交BC于F,
GH∥BC,交AB与G,交DC于H,
则构成4个小矩形，矩形对边相等，邻边互相垂直
则 AG=DH, AE=BF, FC=ED, HC=GB
根据勾股定理：
PA^2+PC^2=AG^2+AE^2+FC^2+HC^2
PB^2+PD^2=GB^2+BF^2+ED^2+DH^2
=DH^2+BF^2+ED^2+GB^2
∵ AG=DH, AE=BF, FC=ED, HC=GB
∴ PA^2+PC^2=PB^2+PD^2
收起
设这距离为b,则由勾股定理列式根号下(a/2)@+(a-b)@等于b/2（@代表平方）解方程得b=a即距离是a