作业帮求函数的值域有什么办法?要具体的方法.还有解析.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 10:39:40
求函数的值域有什么办法?要具体的方法.还有解析.
求函数的值域有什么办法?
要具体的方法.还有解析.
求函数的值域有什么办法?要具体的方法.还有解析.
求 函数值域的几种常见方法
1．直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R,值域为R；
反比例函数 的定义域为{x|x 0},值域为{y|y 0}；
二次函数 的定义域为R,
当a>0时,值域为{ }；当a<0时,值域为{ }.
例1．求下列函数的值域
① y=3x+2(-1 x 1) ② ③ ④
①∵-1 x 1,∴-3 3x 3,
∴-1 3x+2 5,即-1 y 5,∴值域是[-1,5]
②∵ ∴
即函数 的值域是 { y| y 2}
③
④当x>0,∴ = ,
当x<0时, =－
∴值域是 [2,+ ).（此法也称为配方法）
函数 的图像为：
2．二次函数比区间上的值域(最值)：
例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：
① ；
∵ ,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为2.
①∵抛物线的开口向上,函数的定义域R,
∴x=2时,ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y -3 }.
②∵顶点横坐标2 [3,4],
当x=3时,y= -2；x=4时,y=1；
∴在[3,4]上, =-2, =1；值域为[-2,1].
③∵顶点横坐标2 [0,1],当x=0时,y=1；x=1时,y=-2,
∴在[0,1]上, =-2, =1；值域为[-2,1].
④∵顶点横坐标2 [0,5],当x=0时,y=1；x=2时,y=-3, x=5时,y=6,
∴在[0,1]上, =-3, =6；值域为[-3,6].
注：对于二次函数 ,
⑴若定义域为R时,
①当a>0时,则当 时,其最小值 ；
②当a<0时,则当 时,其最大值 .
⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若 [a,b],则 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时,再比较 的大小决定函数的最大（小）值.
②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内,只需比较 的大小即可决定函数的最大（小）值.
注：①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大（小）值；
②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
3．判别式法（△法）：
判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式,解题中要注意二次项系数是否为0的讨论
例3．求函数 的值域
方法一：去分母得 (y-1) +(y+5)x-6y-6=0 ①
当 y11时 ∵x?R ∴△=(y+5) +4(y-1)×6(y+1) 0
由此得 (5y+1) 0
检验 时 （代入①求根）
∵2 ? 定义域 { x| x12且 x13} ∴
再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11
综上所述,函数 的值域为 { y| y11且 y1 }
方法二：把已知函数化为函数 (x12)
∵ x=2时 即
说明：此法是利用方程思想来处理函数问题,一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数,其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.
4．换元法
例4．求函数 的值域
设 则 t 0 x=1-
代入得
5．分段函数
例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
解法1：将函数化为分段函数形式： ,画出它的图象（下图）,由图象可知,函数的值域是{y|y 3}.
解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1,2的距离之和,∴易见y的最小值是3,∴函数的值域是[3,+ ]. 如图
两法均采用“数形结合”,利用几何性质求解,称为几何法或图象法.
说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等）,随着知识的不断学习和经验的不断积累,还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解,有的题用某种方法求解比较简捷,同学们要通过不断实践,熟悉和掌握各种解法,并在解题中尽量采用简捷解法.