作业帮周长为l的矩形的面积的最大值为_________,对角线长的最小值是________第二空,（根号2）l/4)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 10:52:07
周长为l的矩形的面积的最大值为_________,对角线长的最小值是________第二空,（根号2）l/4)
周长为l的矩形的面积的最大值为_________,对角线长的最小值是________
第二空,（根号2）l/4)
周长为l的矩形的面积的最大值为_________,对角线长的最小值是________第二空,（根号2）l/4)
设矩形的4条边为 a a b b
周长为1 则 2a+2b=1 a+b=1/2
矩形面积=a*b
由不等式 a*b=2ab 左右两边同加2ab
a^2+2ab+b^2>=4ab 则4ab=2ab 左右两边同加 a^2+b^2 2a^2+2b^2>=(a+b)^2 则a^2+b^2>=(a+b)^2/2）
得对角线=根号（a^2+b^2）>=根号（1/8）=根号（2）/4
当且仅当a=b=1/4时取得最小值
设长宽分别为a、b，则由题意：a+b = 1/2
面积 S = ab ≤ (a+b)²/4 = 1/16 （均值不等式变形）
对角线为：L = √(a²+b²)
由: 2(a²+b²)≥(a+b)²=1/4
于是对角线长 L ≥ √(1/8) = √2/4
面积最大和对角线最小的时候都是正方形。第一空是1/16
至于理由，假设矩形两边长为a，b
那么a+b=1/2面积是ab，很显然a=b时最大，考虑ab=a（1/2-a）=1 /16-（a-1/4）^2,所以a=1/4最大，面积为1/16
第二空， 假设一边长a+1/4，a不等于0，那么对角线平方为（a+1/4）^2+（a-1/4）^2=2a^2+1/8
而当正方形时，...
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面积最大和对角线最小的时候都是正方形。第一空是1/16
至于理由，假设矩形两边长为a，b
那么a+b=1/2面积是ab，很显然a=b时最大，考虑ab=a（1/2-a）=1 /16-（a-1/4）^2,所以a=1/4最大，面积为1/16
第二空， 假设一边长a+1/4，a不等于0，那么对角线平方为（a+1/4）^2+（a-1/4）^2=2a^2+1/8
而当正方形时，对角线的平方就是1/8，也就是最小（因为2a^2大于0）
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