作业帮使得3的N次加81是完全平方数 N有几个
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/07 20:20:31
使得3的N次加81是完全平方数 N有几个
使得3的N次加81是完全平方数 N有几个
使得3的N次加81是完全平方数 N有几个
3^n+81=x^2
n=0 不可以
n>=1
故3整除x,x=3y 整理
3^(n-2)+9=y^2
n=2 不可以
n>=3
故3整除y,y=3z 整理
3^(n-4)+1=z^2
3^(n-4)=(z+1)(z-1)
而z+1,z-1不可能同时被3整除
n=4不可以
故3^(n-4)>1
所以z-1=1 z+1=3^(n-4)
恰好有z=2,n=5
且只有n=5一个
N=1，2，3，4都不行
若N>4
则要求3^4(3^(N-4)+1)是完全平方数
也就要求(3^(N-4)+1)是完全平方数
因为若(3^(N-4)+1)=A^2，
则3^(N-4)=A^2-1=(A+1)(A-1)
A=2时成立，此是n=5是一个解
若A>2，则
但左端只有因子3,右端要求有不同因子
所以不可能成立
全部展开
N=1，2，3，4都不行
若N>4
则要求3^4(3^(N-4)+1)是完全平方数
也就要求(3^(N-4)+1)是完全平方数
因为若(3^(N-4)+1)=A^2，
则3^(N-4)=A^2-1=(A+1)(A-1)
A=2时成立，此是n=5是一个解
若A>2，则
但左端只有因子3,右端要求有不同因子
所以不可能成立
所以只能N=5
1个
收起
应该是1个。
对于N小于等于4，
当N=1的时候是84，2的时候是90，3的时候是108，4的时候是162
均不成立
当N大于4的时候，3^N+81=81(3^(N-4)+1)
因为81是完全平方数,只需看后面就可以了..
由于3^(N-4)是奇数,所以3^(N-4)+1是偶数.
那么偶数必须是4的倍数.
所以N只能从5,7,9,.....
全部展开
应该是1个。
对于N小于等于4，
当N=1的时候是84，2的时候是90，3的时候是108，4的时候是162
均不成立
当N大于4的时候，3^N+81=81(3^(N-4)+1)
因为81是完全平方数,只需看后面就可以了..
由于3^(N-4)是奇数,所以3^(N-4)+1是偶数.
那么偶数必须是4的倍数.
所以N只能从5,7,9,...,2M+1中选择.
检验后~答案只能是5
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