请问一下这个极限和 怎么求啊 lim(n→∞)∑(k=1,n) 1/[(n^2+k^2)]^½
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/13 14:20:37
请问一下这个极限和 怎么求啊 lim(n→∞)∑(k=1,n) 1/[(n^2+k^2)]^½
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用积分定义
原式=lim(n→∞)∑(k=1,n) 1/[(n^2+k^2)]^½
=lim(n→∞)∑(k=1,n) (1/[n^2(1+(k/n)^2)]^½)
=lim(n→∞)∑(k=1,n) (1/[1+(k/n)^2]^½)*(1/n)
=∫[0,1] 1/根号(1+x^2) dx
令x=tan t,t∈(-π/2,π/2)
dx=sec^2t dt
原式=∫[0,1] sec t dt
=ln|sect+tant|+C |[0,1]
=ln|根号(1+x^2)+x|+C |[0,1]
代入1得ln|1+根号2|
代入0得ln1=0
所以积分=ln(1+根号2)
lim(n→∞)∑(k=1,n) 1/[(n^2+k^2)]^½=ln(1+根号2)
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