作业帮高数 幂级数 聚点 一碰有聚点的题就不会了T_T.f（x）在每一点都能展成幂级数数学分析 高数 幂级数 聚点 一碰有聚点的题就不会了T_T.f（x）在每一点都能展成幂级数,有什么含义?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 14:04:27
高数 幂级数 聚点 一碰有聚点的题就不会了T_T.f（x）在每一点都能展成幂级数数学分析 高数 幂级数 聚点 一碰有聚点的题就不会了T_T.f（x）在每一点都能展成幂级数,有什么含义?
高数 幂级数 聚点 一碰有聚点的题就不会了T_T.f（x）在每一点都能展成幂级数
数学分析 高数 幂级数 聚点
一碰有聚点的题就不会了T_T.
f（x）在每一点都能展成幂级数,有什么含义?
高数 幂级数 聚点 一碰有聚点的题就不会了T_T.f（x）在每一点都能展成幂级数数学分析 高数 幂级数 聚点 一碰有聚点的题就不会了T_T.f（x）在每一点都能展成幂级数,有什么含义?
如果f(x)在(a,b)内没有零点则结论显然成立,假设f(x)在(a,b)内有零点,任取零点x‘,由于x'∈(a,b),所以在x'点f(x)在x'点开展开为泰勒级数Σ(an)[(x-x‘)^n]（求和从0到∞）且收敛半径不为零,且存在一个k,使泰勒系数ak≠0,而当n＜k时的泰勒系数均为0,否则泰勒系数全为0,说明f(x)在收敛域U上恒为0,选取U边界上的点x’‘,若x''落在(a,b)内,由f(x)在(a,b)内每一点可展开成泰勒级数,说明在(a,b)上f(x)各阶导数存在且连续,由连续性可知在x'',f（x）极其各阶导数均为0,且在x'',f(x)又能展开为泰勒级数,且收敛半径大于0,在x‘’的展开级数的收敛域内,同理可知f(x)≡0,重复上述过程直至收敛域边界点落在点a、b上可得f（x）在(a,b)上恒为0,与题设矛盾.因此,存在一个k,使泰勒系数ak≠0,这说明f(x)在x’点的k阶导数不为0,f（x）可以被表为：f(x)=g(x)(x-x')^k,其中
g(x)=Σ[a(n+k)][(x-x‘)^n]（求和从0到∞）,易知g(x')≠0,且g（x）在x’的收敛域内连续（幂级数性质）,从而在x‘的某个领域O⊂U内g（x’）≠0,（见补充1）,又当x≠x'时,(x-x')^k≠0,因此在O内除x’外无f（x）的其他零点,因此x‘不是f(x)零点的聚点,（根据聚点定义,若x是某点集E的聚点,他的任意邻域内都应有异于它本身且属于E的点,现在已证除了x’外,邻域O内无f(x)其他零点）,有根据所取x‘的任意性可知f(x)的任意零点都不是f(x)零点集的聚点,再由f（x）在（a,b）上连续性易知,若x‘是零点的聚点,那必然f（x’）=limf（xn）=0（lim下n→∞,xn是一列趋向x‘的零点）,因此,(a,b)中的任意点均非f（x）零点的聚点.补充1,g（x’）≠0,|g（x’）|>0,由g（x）连续性,对于∀ε>0,∃δ,当|x-x'|0,所以g（x）≠0
设U‘=｛x||x-x’|
幂级数可以求和高数呀～。～