高中函数值域有些什么求法?

高中函数值域有些什么求法?
高中函数值域有些什么求法?

高中函数值域有些什么求法?
1．观察法
用于简单的解析式.
2.配方法
多用于二次(型)函数.
3. 换元法
多用于复合型函数.
通过换元,使高次函数低次化,分式函数整式化,无理函数有理化,超越函数代数以方便求值域.
4. 不等式法
用不等式的基本性质.
5. 最值法
如果函数f(x)存在最大值M和最小值m.那么值域为[m,M].
因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.
6. 反函数法
有的又叫反解法.
函数和它的反函数的定义域与值域互换.
如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求.那么,我们通过求后者而得出前者.
7. 单调性法
若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)].减函数则值域为
[f(b), f(a)].

画图，看它的定域区，还有取值范围！这个要多做题，自己总结解题技巧！

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 例7 求函数y = 的值域。 由原函数式可得： = ＞0， ＞0 解得：- 1＜y＜1。 故所求函数的值域为( - 1 , 1 ) . 例8 求函数y = 的值域。 ...

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直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。 例7 求函数y = 的值域。 由原函数式可得： = ＞0， ＞0 解得：- 1＜y＜1。 故所求函数的值域为( - 1 , 1 ) . 例8 求函数y = 的值域。 由原函数式可得：ysinx-cosx=3y 可化为： sinx（x+β）=3y 即 sinx（x+β）= ∵x∈R，∴sinx（x+β）∈[-1，1]。即-1≤ ≤1 解得：- ≤y≤ 故函数的值域为[- ， ]。 6 、函数单调性法 例9 求函数y = （2≤x≤10）的值域 令y = ， = ，则 y ， 在[ 2， 10 ]上都是增函数。 所以y= y + 在[ 2 ，10 ]上是增函数。 当x = 2 时，y = + = ， 当x = 10 时， = + =33。 故所求函数的值域为：[ ，33]。 例10 求函数y= - 的值域。 原函数可化为： y= 令y = ， = ，显然y ， 在[1，+∞）上为无上界的增函数，所以y= y + 在[1，+∞）上也为无上界的增函数。 所以当x = 1时，y=y + 有最小值 ，原函数有最大值 = 。 显然y＞0，故原函数的值域为( 0 , ]。 7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 例11 求函数y = x + 的值域。 令x-1=t，（t≥0）则x= +1 ∵y= +t+1= + ，又t≥0，由二次函数的性质可知 当t=0时，y = 1， 当t →0时，y →+∞。 故函数的值域为[ 1 ，+∞）。 例12 求函数y =x+2+ 的值域 因1- ≥0 ，即 ≤1 故可令x+1=cosβ，β∈[ 0 ，∏] 。 ∴y=cosβ+1+ =sinβ+cosβ+1 = sin（β+∏/ 4 ）+1 ∵0≤β≤∏，0 ≤β+∏/4≤5∏/4 ∴ - ≤sin（β+∏/4）≤1
∴ 0 ≤ sin（β+∏/4）+1≤1+ 。 故所求函数的值域为[0，1+ ]。 例13 求函数 y= 的值域 原函数可变形为：y=- 可令x=tgβ，则有 =sin2β， =cos2β ∴y=- sin2β cos2β= - sin4β 当β= k∏/2-∏/8时， = 。 当β= k∏/2+∏/8时，y = - 而此时tgβ有意义。 故所求函数的值域为[- ， ] 。 例14 求函数y=（sinx+1）（cosx+1），x∈[-∏/12∏/2]的值域。 y=（sinx+1）（cosx+1）=sinxcosx+sinx+cosx+1 令sinx+cosx=t，则sinxcosx= （ -1） y = （ -1）+t+1= 由t=sinx+cosx= sin（x+∏/4）且x∈[- ∏/12，∏/2] 可得： ≤t≤ ∴当t= 时， = + ，当t= 时，y= + 故所求函数的值域为[ + ， + ] 。 例15 求函数y=x+4+ 的值域 由5-x≥0 ，可得∣x∣≤ 故可令x = cosβ，β∈[0，∏] y= cosβ+4+ sinβ= sin（β+∏/4）+ 4 ∵ 0 ≤β≤∏， ∴ ∏/4≤β+∏/4≤5∏/4 当β=∏/4时， =4+ ，当β=∏时，y =4- 。 故所求函数的值域为：[4- ，4+ ]。 8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例16 求函数y= + 的值域。 原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣ 上式可以看成数轴上点P（x ）到定点A（2 ），B（- 8 ）间的距离之和。 由上图可知：当点P在线段AB上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时， y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10 故所求函数的值域为：[10，+∞） 例17 求函数y= + 的值域 原函数可变形为：y= + 上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2 ，-1 ）的距离之和， 由图可知当点P为线段与x轴的交点时， y =∣AB∣= = ，
故所求函数的值域为[ ，+∞）。 例18 求函数y= - 的值域 将函数变形为：y= - 上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0 ）的距离与定点B（-2，1）到点P（x，0）的距离之差。即：y=∣AP∣-∣BP∣ 由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P¹，则构成△ABP¹，根据三角形两边之差小于第三边， 有 ∣∣AP¹∣-∣BP¹∣∣＜∣AB∣= = 即：- ＜y＜ （2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时， 有 ∣∣AP∣-∣BP∣∣= ∣AB∣= 。 综上所述，可知函数的值域为：（- ，- ]。 注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A ，B在x轴的同侧。 如：例17的A，B两点坐标分别为：（3 ，2 ），（- 2 ，- 1 ），在x轴的同侧； 例18的A，B两点坐标分别为：（3 ，2 ），（2 ，- 1 ），在x轴的同侧。 9 、不等式法 利用基本不等式a+b≥2 ，a+b+c≥3 （a，b，c∈ ），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例19 求函y=（sinx +1/sinx）+（cosx+1/cosx）的值域 原函数变形为： y=（ + ）+1/ +1/ = 1+ + = 3+ + ≥3 + 2 =5 当且仅当tgx=ctgx，即当x=k∏±∏/4时（k∈z），等号成立。 故原函数的值域为：[ 5，+∞）。 例20 求函数y=2sinxsin2x的值域 y=2sinxsinxcosx =4 cosx =16 =8 （2-2 ） ≤8（ + +2- ） =8[（ + +2- ）/3] = 当且当 =2-2 ，即当 =时，等号成立。 由 ≤ ，可得：- ≤y≤ 故原函数的值域为：[- ， ）。 10、多种方法综合运用
例21 求函数y= 的值域 令t= （t≥0），则x+3= +1 （1） 当t＞0时，y= = ≤ ， 当且仅当t=1，即x=-1时取等号 所以0＜y≤ 。 （2） 当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：[0， ]。 注：先换元，后用不等式法。 例 22 求函数y= 的值域。 y= + = + 令x=tg ，则 = ， = sin ， ∴y= + sin =- + sin +1 =- + ∴当sin = 时， = 。当sin =-1时，y =-2。 此时tg 都存在，故函数的值域为：〔－2， 〕。 注：此题先用换元法。后用配方法，然后再运用sin 的有界性。 总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 满意请给好评！

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这个数学 学霸我也暂时当不起啊