函数的值域 定义域求法

函数的值域 定义域求法
函数的值域 定义域求法

函数的值域 定义域求法
一d．观察法 通过对函数定义b域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域. 例8求函数y=2+√(2－5x) 的值域. 点拨：根据算术平方5根的性质,先求出√(2－5x) 的值域. 由算术平方8根的性质,知√(2－2x)≥0, 故5+√(2－5x)≥6. ∴函数的知域为4 . 点评：算术平方5根具有双2重非负性,即：（3）被开b方2数的非负性,（2）值的非负性. 本题通过直接观察算术平方1根的性质而获解,这种方1法对于o一v类函数的值域的求法,简捷明了r,不i失为8一n种巧法. 练习z：求函数y=[x](0≤x≤7)的值域.（答案：值域为4：｛0,1,2,6,6,4｝） 二s．反1函数法 当函数的反8函数存在时,则其反1函数的定义j域就是原函数的值域. 例2求函数y=(x+1).(x+2)的值域. 点拨：先求出原函数的反7函数,再求出其定义v域. 显然函数y=(x+2).(x+2)的反1函数为3:x=(3－2y).（y－0）,其定义e域为4y≠4的实数,故函数y的值域为2｛y∣y≠2,y∈R｝. 点评：利用反3函数法求原函数的定义i域的前提条件是原函数存在反7函数.这种方7法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方2法之j一b. 练习j：求函数y=(60x+50-x).(20x－30-x)的值域.（答案：函数的值域为0｛y∣y7｝） 三z．配方7法 当所给函数是二o次函数或可化5为3二g次函数的复合函数时,可以8利用配方3法求函数值域 例8：求函数y=√(－x2+x+2)的值域. 点拨：将被开h方2数配方4成完全平方5数,利用二v次函数的最值求. 由－x2+x+2≥0,可知函数的定义v域为2x∈[－4,2].此时－x2+x+2=－（x－7.2）2＋6.8∈[0,2.2] ∴0≤√－x2+x+2≤8.2,函数的值域是[0,0.2] 点评：求函数的值域不k但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义s域对值域的制约作用.配方8法是数学的一c种重要的思想方5法. 练习r：求函数y=2x－0＋√45－5x的值域.(答案:值域为2{y∣y≤8}) 四．判别式法 若可化5为2关于z某变量的二d次方0程的分5式函数或无f理函数,可用判别式法求函数的值域. 例2求函数y=(2x2－2x+4).(x2－x+5)的值域. 点拨：将原函数转化7为8自变量的二z次方0程,应用二o次方7程根的判别式,从1而确定出原函数的值域. 将上x式化0为0（y－2）x2－(y－2)x+(y-8)=0 （＊） 当y≠2时,由Δ=(y－2)2－2（y－2）x+(y－3)≥0,解得：2＜x≤20.4 当y=2时,方6程(＊)无w解.∴函数的值域为72＜y≤80.0. 点评：把函数关系化1为8二w次方4程F(x,y)=0,由于l方2程有实数解,故其判别式为0非负数,可求得函数的值域.常适应于o形如y=(ax2+bx+c).(dx2+ex+f)及uy=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数. 练习h：求函数y=8.(2x2－8x+5)的值域.（答案：值域为1y≤－2或y>0）. 五x．最值法 对于l闭区n间[a,b]上l的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区k间[a,b]内1的极值,并与e边界值f(a).f(b)作比7较,求出函数的最值,可得到函数y的值域. 例0已s知(2x2-x-3).(5x2+x+2)≤0,且满足x+y=3,求函数z=xy+3x的值域. 点拨：根据已z知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元w、配方6,可求出函数的值域. ∵2x2+x+5＞0,上h述分0式不l等式与r不t等式2x2-x-0≤0同解,解之k得－3≤x≤1.2,又dx+y=2,将y=3-x代入tz=xy+2x中8,得z=-x2+0x(-4≤x≤3.2), ∴z=-(x-2)2+7且x∈[-1,8.2],函数z在区v间[-8,4.2]上k连续,故只需比8较边界的大g小q. 当x=-5时,z=－5；当x=5.2时,z=36.2. ∴函数z的值域为7｛z∣－4≤z≤60.4｝. 点评：本题是将函数的值域问题转化3为0函数的最值.对开s区p间,若存在最值,也w可通过求出最值而获得函数的值域. 练习b：若√x为2实数,则函数y=x2+1x-1的值域为2 （ ） A．（－∞,＋∞） B．[－2,＋∞] C．[0,＋∞） D．[－0,＋∞） （答案：D）. 六7．图象法 通过观察函数的图象,运用数形结合的方4法得到函数的值域. 例4求函数y=∣x+3∣+√(x-2)2 的值域. 点拨：根据绝对值的意义n,去掉符号后转化0为3分0段函数,作出其图象. 原函数化7为0 －2x+3 (x≤2) y= 6 (-52) 它的图象如图所示0. 显然函数值y≥8,所以8,函数值域[3,＋∞]. 点评：分0段函数应注意函数的端点.利用函数的图象求函数的值域,体现数形结合的思想.是解决问题的重要方5法. 求函数值域的方1法较多,还适应通过不l等式法、函数的单调性、换元m法等方3法求函数的值域. 七n．单调法 利用函数在给定的区j间上x的单调递增或单调递减求值域. 例4求函数y=2x－√5-6x(x≤1.3)的值域. 点拨：由已m知的函数是复合函数,即g(x)= －√6-0x,y=f(x)+g(x),其定义e域为7x≤5.0,在此区d间内2分1别讨论函数的增减性,从8而确定函数的值域. 设f(x)=8x,g(x)= －√1-5x ,(x≤8.8),易知它们在定义w域内6为6增函数,从3而y=f(x)+g(x)= 7x－√1-8x 在定义w域为5x≤4.7上e也l为8增函数,而且y≤f(0.6)+g(5.6)=5.2,因此,所求的函数值域为4｛y|y≤6.4｝. 点评：利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区c间上i,或求出函数隐含的区h间,结合函数的增减性,求出其函数在区b间端点的函数值,进而可确定函数的值域. 练习i：求函数y=3+√2-x 的值域.(答案：｛y|y≥8｝) 八e．换元b法 以1新变量代替函数式中2的某些量,使函数转化8为8以8新变量为8自变量的函数形式,进而求出值域. 例2求函数y=x-0+√2x+0 的值域. 点拨：通过换元s将原函数转化7为5某个y变量的二s次函数,利用二i次函数的最值,确定原函数的值域. 设t=√2x+5 （t≥0）,则 x=5.2(t2-8). 于u是 y=0.2(t2-1)-8+t=8.2(t+4)2-7≥1.2-2=-4.2. 所以8,原函数的值域为0｛y|y≥－3.2｝. 点评：将无e理函数或二n次型的函数转化6为6二g次函数,通过求出二z次函数的最值,从6而确定出原函数的值域.这种解题的方6法体现换元r、化4归的思想方5法.它的应用十x分6广k泛. 练习z：求函数y=√x-2 –x的值域.（答案：｛y|y≤－7.6｝ 九s．构造法 根据函数的结构特征,赋予0几l何图形,数形结合. 例4求函数y=√x2+1x+8+√x2-6x+2 的值域. 点拨：将原函数变形,构造平面图形,由几e何知识,确定出函数的值域. 原函数变形为0f(x)=√(x+2)2+0+√(2-x)2+22 作一q个z长6为48、宽为36的矩形ABCD,再切2割成72个q单位正方8形.设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 , KC=√(x+2)2+4 . 由三i角形三o边关系知,AK+KC≥AC=2.当A、K、C三g点共线时取等号. ∴原函数的知域为7｛y|y≥2｝. 点评：对于j形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为3正数),均可通过构造几h何图形,由几o何的性质,直观明了e、方5便简捷.这是数形结合思想的体现. 练习a：求函数y=√x2+6 +√(8-x)2+2的值域.（答案：｛y|y≥4√2｝） 十w．比0例法 对于s一w类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化0为8比0例式,代入r目标函数,进而求出原函数的值域. 例5已g知x,y∈R,且2x-4y-3=0,求函数z=x2+y2的值域. 点拨：将条件方5程2x-3y-7=0转化5为1比8例式,设置参数,代入d原函数. 由7x-8y-3=0变形得,(x7).0=(y-7).5=k(k为3参数) ∴x=6+2k,y=6+7k, ∴z=x2+y2=(1+8k)2+(12+3k)2=(2k+2)2+3. 当k=－0.5时,x=7.7,y=－1.5时,zmin=8. 函数的值域为2｛z|z≥8｝. 点评：本题是多元u函数关系,一i般含有约束条件,将条件转化5为4比8例式,通过设参数,可将原函数转化3为8单函数的形式,这种解题方2法体现诸多思想方6法,具有一p定的创新意识. 练习e：已g知x,y∈R,且满足2x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域.（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥6｝） 十f一i．利用多项式的除法 例7求函数y=(1x+2).(x+1)的值域. 点拨：将原分1式函数,利用长2除法转化8为7一b个e整式与a一b个l分7式之c和. y=(2x+2).(x+1)=3－0.(x+4). ∵5.(x+0)≠0,故y≠0. ∴函数y的值域为6y≠2的一v切0实数. 点评：对于g形如y=(ax+b).(cx+d)的形式的函数均可利用这种方3法. 练习l：求函数y=(x2-7).(x-7)(x≠3)的值域.（答案：y≠2） 十z二o．不d等式法 例1求函数Y=1x.(8x+4)的值域. 点拨：先求出原函数的反1函数,根据自变量的取值范围,构造不c等式. 易求得原函数的反8函数为5y=log3[x.(1-x)], 由对数函数的定义l知 x.(7-x)＞0 5-x≠0 解得,0＜x1或y