有关等价无穷小证明问题!(1) 证明:当x→0时,arctanx~x(2) 若不利用等价无穷小代换,当x→+∞时,lim( arctanx/x)=0是如何算出来的?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 02:27:26
有关等价无穷小证明问题!(1) 证明:当x→0时,arctanx~x(2) 若不利用等价无穷小代换,当x→+∞时,lim( arctanx/x)=0是如何算出来的?

有关等价无穷小证明问题!(1) 证明:当x→0时,arctanx~x(2) 若不利用等价无穷小代换,当x→+∞时,lim( arctanx/x)=0是如何算出来的?
有关等价无穷小证明问题!
(1) 证明:当x→0时,arctanx~x
(2) 若不利用等价无穷小代换,当x→+∞时,lim( arctanx/x)=0是如何算出来的?

有关等价无穷小证明问题!(1) 证明:当x→0时,arctanx~x(2) 若不利用等价无穷小代换,当x→+∞时,lim( arctanx/x)=0是如何算出来的?
即证明 lim (arctanx)/x=1
因为当x趋于0时,atctanx趋于0,x趋于0,
所以可利用洛必达法则,对上下求导,则有
原式=lim 1/(1+x^2)=1
证毕
-pi/2≤arctanx≤pi/2
当x趋于正无穷时,arctanx趋于pi/2
1/x趋于0
一个无穷小量乘以一个有极限的函数仍为无穷小量
所以 lim (arctanx)/x=0