一道初三圆几何题P是正方形ABCD外接圆弧AD上任一点,求证:(1)PA+PC=√2PB(2)PA×PC=PB的平方-AB的平方

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/16 03:59:19
一道初三圆几何题P是正方形ABCD外接圆弧AD上任一点,求证:(1)PA+PC=√2PB(2)PA×PC=PB的平方-AB的平方

一道初三圆几何题P是正方形ABCD外接圆弧AD上任一点,求证:(1)PA+PC=√2PB(2)PA×PC=PB的平方-AB的平方
一道初三圆几何题
P是正方形ABCD外接圆弧AD上任一点,求证:(1)PA+PC=√2PB(2)PA×PC=PB的平方-AB的平方

一道初三圆几何题P是正方形ABCD外接圆弧AD上任一点,求证:(1)PA+PC=√2PB(2)PA×PC=PB的平方-AB的平方
证明:(1)连接PB、AC
由于点A、B、C、P共圆,则由托勒密定理知:
PA•BC+AB•PC=PB•AC
又BC=AB,AC=AB•√2
所以PA+PC=(√2)PB
(2) 由于ABCD是正方形,所以对角线AC是圆的直径,即知∠APC=90°
则由勾股定理知:PA^2+PC^2=AC^2=2AB^2
又由(1)中结论知:(PA+PC)^2=2PB^2
二式相减即得:PA•PC=PB^2-AB^2

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