求证:1+3+3^2+...+3^99能被8整除这个问题能否用二项式定理的知识解答？

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 04:51:20

求证:1+3+3^2+...+3^99能被8整除这个问题能否用二项式定理的知识解答？
求证:1+3+3^2+...+3^99能被8整除
这个问题能否用二项式定理的知识解答？

求证:1+3+3^2+...+3^99能被8整除这个问题能否用二项式定理的知识解答？
1+3+3^2+...+3^99
=(3^100-1)/2
=(3^50+1)(3^50-1)/2
=(3^50+1)(3^25+1)(3^25-1)/2
3^50+1,3^25+1,3^25-1均是偶数
又因为3^25+1,3^25-1是相邻的两个偶数,所以其中有一个是4的倍数,所以分母是
2*2*4=16的倍数,所以
(3^50+1)(3^25+1)(3^25-1)/2能被8整除
即1+3+3^2+...+3^99能被8整除

1除8余1，3除8余3，3^2除8余1，3^3除8余3，3^4除8余3*3余1，
一般可知3^(2k) 除8余1,3^(2k+1)除8余3
1+3+3^2+...+3^99除8的余数与
1+3+1+3+......+3=48*(1+3)除8的余数相同
48*(1+3）是8的倍数
1+3+3^2+...+3^99也是8的倍数

这是等比数列求和,公比为3
Sn=(3^100-1)/2=(3^100)/2-0.5
1除8余1，3除8余3，3^2除8余1，3^3除8余3，3^4除8余3*3余1，
一般可知3^(2k) 除8余1,3^(2k+1)除8余3
1+3+3^2+...+3^99除8的余数与
1+3+1+3+......+3=48*(1+3)除8的余数相同
48*(1+...

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