作业帮中心在原点,一焦点为F（0,5根号2）的椭圆被直线L:y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为1/2,求椭圆方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 09:21:54
中心在原点,一焦点为F（0,5根号2）的椭圆被直线L:y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为1/2,求椭圆方程
中心在原点,一焦点为F（0,5根号2）的椭圆被直线L:y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为1/2,求椭圆方程
中心在原点,一焦点为F（0,5根号2）的椭圆被直线L:y=3x-2截得的弦的中点的横坐标为1/2,求椭圆方程
焦点F(0,5√2)在y轴上.
设椭圆方程为：y^2/a^2+x^2/b^2=1(a>b>0).
c=5√2.
则a^2-b^2=c^2=50.
a^2=b^2+50.
所以,椭圆方程为：y^2/(b^2+50)+x^2/b^2=1.
将直线y=3x-2与椭圆方程联立得：(10b^2+50)x^2-12b^2x-b^4-46b^2=0.
设直线L与椭圆交于A(x1,y1)、B(x2,y2).
由韦达定理得：x1+x2=12b^2/(10b^2+50)=6b^2/(5b^2+25).
由题意知,AB的中点横坐标为(x1+x2)/2.
所以,(x1+x2)/2=3b^2/(5b^2+25)=1/2.
6b^2=5b^2+25、b^2=25.
所以,所求椭圆方程为：y^2/75+x^2/25=1.
根据已知条件可以设这个方程为：
X²/b²+y²/a²=1；
结合直线方程y=3x-2
推出：
（a²+9b²）x²-12b²x+4b²-a²b²=0
结合维达定理
x1+x2=-B/A
根据已知横坐标为1/2推出： <...
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根据已知条件可以设这个方程为：
X²/b²+y²/a²=1；
结合直线方程y=3x-2
推出：
（a²+9b²）x²-12b²x+4b²-a²b²=0
结合维达定理
x1+x2=-B/A
根据已知横坐标为1/2推出：
x1+x2=1
推出
x1+x2=12b²/（a²+9b²）=1
推出：
a²=3b²----------------------------⑴
已知焦点（0，5根号2），a²=b²+c²
推出：a²-b²=50--------------------⑵
⑴⑵结合推出 a²=75，b²=25
推出方程为
x²/75+y²/25=1
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