作业帮正项数列{an}的前n项和Sn满足10Sn=an^2+5an+6,且a1,a3,a15成等比数列,则a2010=
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 22:35:15
正项数列{an}的前n项和Sn满足10Sn=an^2+5an+6,且a1,a3,a15成等比数列,则a2010=
正项数列{an}的前n项和Sn满足10Sn=an^2+5an+6,且a1,a3,a15成等比数列,则a2010=
正项数列{an}的前n项和Sn满足10Sn=an^2+5an+6,且a1,a3,a15成等比数列,则a2010=
10Sn=(an)²+5an+6
10S(n-1)=(a(n-1))²+5a(n-1）+6
两式相减,得
5a(n-1)+5an=(an)²-(a(n-1))²
5=an-a(n-1)
所以{an}是等差数列,首项a1,公差d=5,所以
an=na1+(n-1)n/2
a1*a15=(a3)²
a1*(a1+14d)=(a1+2d)²
5d*a1=2d²
d(5a1-2d)=0
∵d=5
所以5a1=2d
a1=2
∴an=a1+(n-1)d=2+(n-1)=5n-3
当n=2010时,得
a2010=10047
因为10Sn=an^2+5an+6，所以N=1时，S1=A1,10S1=A1^2+5A1+6=10A1，解得：A1=2或3。
又10Sn=an^2+5an+6，10S（N-1）=A（N-1）^2+5A(N-1)+6,两式相减得
10An=An^2+5An-[A(n-1)^2+5A(n-1)],化简得[An+A(n-1)]*[An-A(n-1)-5]=0,解得：An=A(n-1)+5...
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因为10Sn=an^2+5an+6，所以N=1时，S1=A1,10S1=A1^2+5A1+6=10A1，解得：A1=2或3。
又10Sn=an^2+5an+6，10S（N-1）=A（N-1）^2+5A(N-1)+6,两式相减得
10An=An^2+5An-[A(n-1)^2+5A(n-1)],化简得[An+A(n-1)]*[An-A(n-1)-5]=0,解得：An=A(n-1)+5=A1+5（N-1)
当A1=2时，An=5N-3，A3=12，A15=72，满足题意。
当A1=3时，An=5N-2，A3=13，A15=73，不满足题意（等比数列）。
所以A1=2，An=5N-3,A2010=10047.
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