作业帮关于线性代数的小疑惑,为什么向量组的等价不能等同于相对应的矩阵之...关于线性代数的小疑惑,为什么向量组的等价不能等同于相对应的矩阵之间的等价,而是要另外对其定义为是两个向量
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 09:43:24
关于线性代数的小疑惑,为什么向量组的等价不能等同于相对应的矩阵之...关于线性代数的小疑惑,为什么向量组的等价不能等同于相对应的矩阵之间的等价,而是要另外对其定义为是两个向量
关于线性代数的小疑惑,为什么向量组的等价不能等同于相对应的矩阵之...
关于线性代数的小疑惑,为什么向量组的等价不能等同于相对应的矩阵之间的等价,而是要另外对其定义为是两个向量组可以相互线性表示.这样有什么意义么?在用途上?
关于线性代数的小疑惑,为什么向量组的等价不能等同于相对应的矩阵之...关于线性代数的小疑惑,为什么向量组的等价不能等同于相对应的矩阵之间的等价,而是要另外对其定义为是两个向量
我可能说的深点：
1：向量组等价与矩阵等价在没有其他特殊说明下不可互推.a）：向量组等价推不出矩阵等价是因为两个矩阵的向量组等价不能保证这两个矩阵同型.如任一向量组与自身的最大无关组等价,但多时候这两个向量组对应的矩阵是不同型的.b）：矩阵等价推不出向量组等价是因为：矩阵的等价可能同时运用了行变换和列变换,而向量组等价只允许单一的运用行变换（叫做行向量组等价）或单一的列变换（叫做列向量组等价）,由此可知：若两矩阵行等价,则一定也是行向量组等价；两矩阵列等价则定是列向量组等价（注意矩阵等价前的行或列不能省略）
2：对于向量组等价的作用：a）从解方程组的角度来说,向量组等价代表着这两个方程组同解,而单纯的矩阵等价就不能保证这点.b）引入向量组等价的另一个意义是考虑到矩阵只能表达有限阶（因为矩阵必须把元素一一写出来）而引入向量后,虽然它的个数也是无穷的,但这个无穷多的数组的作用完全可以用一个有限的来完美表达,那就是它的最大无关组.从而解决了无穷这个问题.譬如一个方程组若有无穷解,用矩阵就无法把全部解表达出来,但用基础解系（就是无关组）可以表达.c）引入向量还可以表示几个意义.其实任何一个向量组都表示某一空间中的多个向量的集合.最简单的例子就是高中的空间坐标系,高中的时候就遇到过在一道题目中可能就出现了5个向量如向量a,b,c,d,e.甚至更多.但想想这5个向量都完全可以仅由三个坐标单位向量i,j,k表示就够了,这三个坐标轴又叫做基底（高中就学过）,且高中时就说过只要有三个向量不共面,就能成为三维空间的一组基.所以即使向量再怎么多,它们所在空间的基底都是有限的.所以只要有基底,我管你有多少向量,反正我都能用基底表示出来.而一组基底其实也就是最大无关组,基底的个数（即所需坐标轴的个数）就是向量组的秩（那么你就懂了：哦!原来秩就是代表能表达向量组中所有向量所需的坐标轴的个数啊.）.当你能明白这个几何意义时,就可以无视线代中的很多难记的定理了.
全手打,还是用手机的.累死了.
矩阵等价的是矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B。首先可以知道的是A和B的秩是相等的。
而对于向量组，向量的个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。等价的向量组具有相同的秩，但是秩相同的向量组不一定等价。
只从这个方面简单解释，不知道满意否？...
全部展开
矩阵等价的是矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B。首先可以知道的是A和B的秩是相等的。
而对于向量组，向量的个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。等价的向量组具有相同的秩，但是秩相同的向量组不一定等价。
只从这个方面简单解释，不知道满意否？
收起
矩阵的等价是两个同型（行数相等，列数相等）矩阵能经初等变换互变，初等变换不仅不变型，更不变秩，[A~B的充要条件是：A、B同型，且R（A）=R（B）]
向量的等价是，两个向量组相互能够线性表示，不要求向量中的向量个数一样多，故二向量组等价时，他们对应的矩阵不一定同型，当然就不能保证二矩阵等价了。
综合来看，向量组的等价与矩阵的等价纯粹是两回事。...
全部展开
矩阵的等价是两个同型（行数相等，列数相等）矩阵能经初等变换互变，初等变换不仅不变型，更不变秩，[A~B的充要条件是：A、B同型，且R（A）=R（B）]
向量的等价是，两个向量组相互能够线性表示，不要求向量中的向量个数一样多，故二向量组等价时，他们对应的矩阵不一定同型，当然就不能保证二矩阵等价了。
综合来看，向量组的等价与矩阵的等价纯粹是两回事。
收起