作业帮x*tanx的积分求不定积分分布积分法不行
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 10:14:52
x*tanx的积分求不定积分分布积分法不行
x*tanx的积分
求不定积分
分布积分法不行
x*tanx的积分求不定积分分布积分法不行
抱歉,找不到简单方法
∫x*tanxdx=∫xsinx/cosx dx=-∫xd(cosx)/cosx=-∫(π/2-(π/2-x))d(sin(π/2-x))/sin(π/2-x)
设t=sin(π/2-x)
原式=-∫(π/2-arccost)/t dt=-=∫π/2t dt+∫arccost/t dt=-π/2*lnt+∫arccost/t dt
根据泰勒级数
arccost=x+x^3/(2*3)+1*3*x^5/(2*4*5).
所以原式=-π/2*lnt+∫arccost/t dt=π/2*lnt+∫1+x^2/(2*3)+1*3*x^4/(2*4*5).dt=
-π/2*lnt+x+x^3/(2*3*3)+1*3*x^5/(2*4*5*5).
用分部积分法
设M=∫【0，л/2】lnsinxdx（注：【0，л/2】表示积分区间是从0到л/2，以下类同。）
令x=2t.
则M=2∫【0，л/4】lnsin2tdt=2∫【0，л/4】ln(2sintcost)dt
=2∫【0，л/4】ln2dt+2∫【0，л/4】lnsintdt+2∫【0，л/4】lncostdt
而对于N=∫【0，л/4】lncostdt,...
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设M=∫【0，л/2】lnsinxdx（注：【0，л/2】表示积分区间是从0到л/2，以下类同。）
令x=2t.
则M=2∫【0，л/4】lnsin2tdt=2∫【0，л/4】ln(2sintcost)dt
=2∫【0，л/4】ln2dt+2∫【0，л/4】lnsintdt+2∫【0，л/4】lncostdt
而对于N=∫【0，л/4】lncostdt,令t=л/2-u.
则有N=∫【л/2，л/4】lncos(л/2-u)(-du)=∫【л/4，л/2】lnsinudu
=∫【л/4，л/2】lnsintdt
∴M=2∫【0，л/4】ln2dt+2∫【0，л/4】lnsintdt+2∫【л/4，л/2】lnsintdt
=(лln2)/2+2∫【0，л/2】lncsindt=(лln2)/2+2M
∴M=(-лln2)/2.
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