作业帮∫ 1/(x^2+1)^2的定积分求解.也就是∫1/(x^4+2x^2+1)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 15:05:54
∫ 1/(x^2+1)^2的定积分求解.也就是∫1/(x^4+2x^2+1)
∫ 1/(x^2+1)^2的定积分求解.也就是∫1/(x^4+2x^2+1)
∫ 1/(x^2+1)^2的定积分求解.也就是∫1/(x^4+2x^2+1)
x=tant
∫ 1/(x^2+1)^2dx
=∫ 1/(tant^2+1)^2dtant
=∫1/sec^4 * sec^2dt
=∫1/sec^2dt
=∫cos^2dt
=t/2+1/4sin2t +C
利用分部积分法
(1/2)*x/(x^2+1)+(1/2)*arctan(x)
是不定积分吧？
设x=tanx,dx=(sect)^2dt,
原式=∫ (sect)^2dt/[（tant)^2+1)^2
=∫ (sect)^2dt/(sect)^4
=∫(cost)^2dt
=(1/2)∫(1+cos2t)dt
=t/2+(1/4)sin2t+C,
∫ 1/(x^2+1)^2dx
对于∫1/(x^2+1)^2dx
令x=tant, t∈(-π/2,π/2)
该积分=∫(cost)^2dt
=∫(1+cos2t)/2dt
=(1/2)∫dt+(1/4)∫cos2td(2t)
=(1/2)t+(1/4)sin2t+C
=(1/2)t+(1/2)sintcost+C
根据tant=...
全部展开
∫ 1/(x^2+1)^2dx
对于∫1/(x^2+1)^2dx
令x=tant, t∈(-π/2,π/2)
该积分=∫(cost)^2dt
=∫(1+cos2t)/2dt
=(1/2)∫dt+(1/4)∫cos2td(2t)
=(1/2)t+(1/4)sin2t+C
=(1/2)t+(1/2)sintcost+C
根据tant=x/1, 作辅助三角形，可得
sint=x/√(x^2+1)
cost=1/√(x^2+1)
∫ 1/(x^2+1)^2dx
=(1/2)arctanx+(1/2)sin[x/√(x^2+1)]cos[1/√(x^2+1)]+C
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