作业帮证明方程sinx+x+1=0在（-90°,90°）内至少有一个实根
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 20:29:46
证明方程sinx+x+1=0在（-90°,90°）内至少有一个实根
证明方程sinx+x+1=0在（-90°,90°）内至少有一个实根
证明方程sinx+x+1=0在（-90°,90°）内至少有一个实根
令f(x)=sinx+x+1
当x=-π/2时f(x)0
由介值定理得,在（-90°,90°）内至少有一个实根
运用根的存在定理引入辅助函数f(x)=sinx+x+1.它在（-90°，90°）上连续
f(-90°)=-90°<0
f(90°)=90°>0
根据根的存在定理,则在（-90°，90°）内至少存在一个数x使得f(x)=0成立
x就是所求方程的一个根
证毕
设f(x)=sinx＋x＋1，则f'(x)=cosx＋1，则函数f(x)在(－π，π)内递增，又f(－π/2)<0，f(π/2)>0，则f(x)=0在(－π，π)内至少有一个根。
sinx=-x-1
作函数
y=sinx
y=-x-1
证明（-90°，90°）有交点
-1<=y=sinx<=1
-(-π/2)-1>=y=-x-1>=-π/2-1
π/2>=-x>=-π/2
π/2>=x>=-π/2
在（-90°，90°）内
[-1,1]∈[-π/2,π/2]
至少有一个实根
令f(x)=sinx+x+1
当x=-π/2时f(x)<0
当x=π/2时f(x)>0
而f（x）在（-90°，90°）是连续的
由介值定理得，在（-90°，90°）内至少有一个实根
以0°为界，分别在（-90°，0）和（0,90°）之间对 sinx+x求导来判断sinx+x的变化趋势，对于sinx+x，在（-90°，0）之间，导数为cosx+1,大于0，呈上升趋势，在X=-90°时，sinx+x+1=—π/2<0，而X=90°时，sinx+x+1=2+π/2>0，所以，sinx+x+1在（-90°，0）区间至少有一实根。
即证。...
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以0°为界，分别在（-90°，0）和（0,90°）之间对 sinx+x求导来判断sinx+x的变化趋势，对于sinx+x，在（-90°，0）之间，导数为cosx+1,大于0，呈上升趋势，在X=-90°时，sinx+x+1=—π/2<0，而X=90°时，sinx+x+1=2+π/2>0，所以，sinx+x+1在（-90°，0）区间至少有一实根。
即证。
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