作业帮块对角矩阵的秩是各个对角块的秩之和吗?如何证明.块对角矩阵的秩是各个对角块的秩之和吗？如何证明。A为行满秩矩阵，则必存在列满秩矩阵B，使得AB为单位阵。如何证明？
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 16:48:59
块对角矩阵的秩是各个对角块的秩之和吗?如何证明.块对角矩阵的秩是各个对角块的秩之和吗？如何证明。A为行满秩矩阵，则必存在列满秩矩阵B，使得AB为单位阵。如何证明？
块对角矩阵的秩是各个对角块的秩之和吗?如何证明.
块对角矩阵的秩是各个对角块的秩之和吗？如何证明。
A为行满秩矩阵，则必存在列满秩矩阵B，使得AB为单位阵。如何证明？
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1.块对角矩阵的秩是各个对角块的秩之和
考虑各个分块的极大无关组,扩充为列向量组,合并后仍线性无关
2.设A为m×n矩阵,R(A)=m
所以A的列秩 = m
所以任一m维列向量都可由A的列向量组线性表示
特别地有:Em的列向量都可由A的列向量组线性表示
故存在矩阵nxm矩阵B,满足 Em = AB.
又 m=r(Em)=r(AB)
A=diag(A1 ... Ak)，把Ai的列向量组的极大无关组拿出来构成的向量组仍热是线性无关的，结论1成立。
A为m*n矩阵，秩为m，则m<=n。方程组Ax=ei(i=1 2 ...m)的增广阵的秩r(A ei)=m，这是因为增广阵是m行n+1列的阵，m>=r(A ei)>=r(A)=m，于是有解，设为bi，令B=（b1,...,bm)是n*m的阵，则AB=A(b1 ..., bm)=...
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A=diag(A1 ... Ak)，把Ai的列向量组的极大无关组拿出来构成的向量组仍热是线性无关的，结论1成立。
A为m*n矩阵，秩为m，则m<=n。方程组Ax=ei(i=1 2 ...m)的增广阵的秩r(A ei)=m，这是因为增广阵是m行n+1列的阵，m>=r(A ei)>=r(A)=m，于是有解，设为bi，令B=（b1,...,bm)是n*m的阵，则AB=A(b1 ..., bm)=(Ab1 Ab2,...,Abm)=(e1 e2 ,,,.em)=E。很显然m=r(E)=r(AB)<=r(B)<=m，于是B的秩是m，B是列满秩阵。
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用分块矩阵的乘法直接用A乘那个逆的结果, 得单位矩阵E 所以结论成立. 行列式则用 Laplace 展开定理.