作业帮一道偏导数的证明题,有一步没有看懂,看不懂的地方已在答案里面标注设函数z=f（x,y)具有二阶连续偏导数,且Fy的偏导数不为0,证明：对任意常数c,f(x,y)为一条直线的充分必要条件是(Fy)^2*Fxx - 2F
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 21:11:10
一道偏导数的证明题,有一步没有看懂,看不懂的地方已在答案里面标注设函数z=f（x,y)具有二阶连续偏导数,且Fy的偏导数不为0,证明：对任意常数c,f(x,y)为一条直线的充分必要条件是(Fy)^2*Fxx - 2F
一道偏导数的证明题,有一步没有看懂,看不懂的地方已在答案里面标注
设函数z=f（x,y)具有二阶连续偏导数,且Fy的偏导数不为0,证明：对任意常数c,f(x,y)为一条直线的充分必要条件是
(Fy)^2*Fxx - 2Fx*Fy*Fxy+Fyy*(Fx)^2 = 0.
证明：若 f(x,y) = c为一条直线,
则
f(x,y) = ax + by + d,其中,a,b,d均为常数.
fx = a,
fy = b,
fxx = fxy = fyy = 0.
故,
(fy)^2*fxx - 2fx*fy*fxy + fyy*(fy)^2 = 0.
若
(fy)^2*fxx - 2fx*fy*fxy + fyy*(fy)^2 = 0.
且f(x,y) = c.
因函数z=f（x,y)具有二阶连续偏导数,
所以fxy = fyx
记y',y''分别为y关于x的1阶和2阶导数.
由f(x,y) = c,fy不为0.有
fx + fy*y' = 0,y' = -fx/fy.
fxx + fxy*y' + (fyx + fyy*y')*y' + fy*y'' = 0,//这一步没有看懂,是对上式再对x和y分别求偏导数吗?
0 = fxx + fxy(-fx/fy) + [fyx + fyy(-fx/fy)](-fx/fy) + fy*y''
= fxx -2fxfxy/fy + fyy(fx/fy)^2 + fy*y''
= (1/fy)^2[(fy)^2*fxx - 2fx*fy*fxy + fyy*(fx)^2] + fy*y''
= fy*y''
y'' = 0.
所以,y = ax + b.
f(x,y) = c为一条直线.
一道偏导数的证明题,有一步没有看懂,看不懂的地方已在答案里面标注设函数z=f（x,y)具有二阶连续偏导数,且Fy的偏导数不为0,证明：对任意常数c,f(x,y)为一条直线的充分必要条件是(Fy)^2*Fxx - 2F
那步就是将上一步的式子:fx + fy*y' = 0两边对x求偏导得到的.