作业帮关于数列和圆锥曲线的数学题设直线l n:y=1/(n+1)(n属于正整数）与椭圆x^2/2+y^2=1在第一象限内相交于An(xn,yn),记an=1/2*xn^2,试证明：对所有n属于正整数皆有,a1*a2……an>1/2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 08:07:54
关于数列和圆锥曲线的数学题设直线l n:y=1/(n+1)(n属于正整数）与椭圆x^2/2+y^2=1在第一象限内相交于An(xn,yn),记an=1/2*xn^2,试证明：对所有n属于正整数皆有,a1*a2……an>1/2
关于数列和圆锥曲线的数学题
设直线l n:y=1/(n+1)(n属于正整数）与椭圆x^2/2+y^2=1在第一象限内相交于An(xn,yn),记an=1/2*xn^2,试证明：对所有n属于正整数皆有,a1*a2……an>1/2
关于数列和圆锥曲线的数学题设直线l n:y=1/(n+1)(n属于正整数）与椭圆x^2/2+y^2=1在第一象限内相交于An(xn,yn),记an=1/2*xn^2,试证明：对所有n属于正整数皆有,a1*a2……an>1/2
由直线ln:y=1/(n+1)(n属于正整数）与椭圆x^2/2+y^2=1在第一象限内相交于An(xn,yn),
则1/2xn^2=1-1/(n+1)^2, 又an=1/2*xn^2, 则an=1-1/(n+1)^2=n(n+2)/(n+1)^2.
于是a1*a2……an=[1*(1+2)/(1+1)^2]*[2(2+2)/(2+1)^2]*[3(3+2)/(3+1)^2]*.[(n-2)n/(n-1)^2]*[(n-1)(n+1)/n^2]*[n(n+2)/(n+1)^2]=(1/2)[(n+2)/(n+1)]>1/2.【各个分式的分子分母可相互消去】
因此,对所有n属于正整数皆有,a1*a2……an>1/2.
an=1/2*xn^2=1-yn^2=(1-1/n+1)(1+1/n+1)
a1*a2……an=(1-1/2)【(1+1/2)(1-1/3)】【(1+1/3)……】(1+1/n+1)
容易证明第一项和最后一项乘积>1/2
中间的因子，两两乘积都大于1，
所以a1*a2……an>1/2成立。
联立直线与圆的方程求解后代入公式直接验证就行