作业帮关于连续函数已知f(x)在R上连续,且f(x+y)=f(x)+f(y)对于任意x、y属于R成立.求证存在常数a,使得f(x)=ax.实在没思路.书后提示a=f(1),先证x是整数的情况,再证x是有理数的情况,最后证x是无理数的情况.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 10:31:02
关于连续函数已知f(x)在R上连续,且f(x+y)=f(x)+f(y)对于任意x、y属于R成立.求证存在常数a,使得f(x)=ax.实在没思路.书后提示a=f(1),先证x是整数的情况,再证x是有理数的情况,最后证x是无理数的情况.
关于连续函数
已知f(x)在R上连续,且f(x+y)=f(x)+f(y)对于任意x、y属于R成立.求证存在常数a,使得f(x)=ax.
实在没思路.书后提示a=f(1),先证x是整数的情况,再证x是有理数的情况,最后证x是无理数的情况.
关于连续函数已知f(x)在R上连续,且f(x+y)=f(x)+f(y)对于任意x、y属于R成立.求证存在常数a,使得f(x)=ax.实在没思路.书后提示a=f(1),先证x是整数的情况,再证x是有理数的情况,最后证x是无理数的情况.
∵f(x+y)=f(x)+f(y)对于任意x、y属于R成立；分三种情况：
1.x是整数:
有f(0)=f(0)＋f(0)；∴f(0)=0=a*0
f(1)=f(1)+f(0)=f(1)；∴f(n)=f(n-1)+f(1)=.=n*f(1)
取a=f(1),所以f(n)=a*n
2.x是有理数时:
∵x=p／q(p,q为整数) ∴f(p)=f((p／q)*q)=f((p／q)+(p／q)+.+(p／q))=f(x)*q
∴f(x)=f(p)/q=p/q*f(1)=xf(1)
3.x为无理数时：
x为一个序列的极限记为：{Xn}.而{Xn}中每一项都是一个有理数,即：
f(Xn)=Xn*f(1),由极限定理有：f(x)=xf(1)
学了很久了,证明无理数的时候可能有些问题.
litaocaicai 说得很明白
把 litaocaicai 第三问说明一下就对了
1.x是整数:
有f(0)=f(0)＋f(0)；∴f(0)=0=a*0
f(1)=f(1)+f(0)=f(1)；∴f(n)=f(n-1)+f(1)=........=n*f(1)
取a=f(1),所以f(n)=a*n
2.x是有理数时:
∵x=p／q(...
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litaocaicai 说得很明白
把 litaocaicai 第三问说明一下就对了
1.x是整数:
有f(0)=f(0)＋f(0)；∴f(0)=0=a*0
f(1)=f(1)+f(0)=f(1)；∴f(n)=f(n-1)+f(1)=........=n*f(1)
取a=f(1),所以f(n)=a*n
2.x是有理数时:
∵x=p／q(p,q为整数) ∴f(p)=f((p／q)*q)=f((p／q)+(p／q)+......+(p／q))=f(x)*q
∴f(x)=f(p)/q=p/q*f(1)=xf(1)
3，x为任意实数时，存在趋于x的有理数数列Xn（有理数的稠密性，任何实数都可以用有理数逼近）。再由函数的连续性可知
f(x)=lim f(Xn)=lim a*Xn =a*(lim Xn)=a*x，
lim 为n趋于无穷时的极限。
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