如图1,在等边△ABC中,点D是边AC的中点,点P是线段DC上的动点(点 P与点C不重合),连结BP.将△ABP绕点P按如图1,在等边△ABC中,点D是边AC的中点,点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合),连结BP.将△ABP绕

如图1,在等边△ABC中,点D是边AC的中点,点P是线段DC上的动点(点 P与点C不重合),连结BP.将△ABP绕点P按如图1,在等边△ABC中,点D是边AC的中点,点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合),连结BP.将△ABP绕
如图1,在等边△ABC中,点D是边AC的中点,点P是线段DC上的动点(点 P与点C不重合),连结BP.将△ABP绕点P按
如图1,在等边△ABC中,点D是边AC的中点,点P是线段DC上的动点(点
P与点C不重合),连结BP.将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°）,得
到△A1B1P,连结AA1,射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F.
（1）如图1,当0°＜α＜60°时,在α角变化过程中,△BEF与△AEP始终存在 ▲ 关
系（填“相似”或“全等”）,并说明理由；
（2）如图2,设∠ABP="β" .当60°＜α＜180°时,在α角变化过程中,是否存在△BEF与△
AEP全等?若存在,求出α与β之间的数量关系；若不存在,请说明理由；
（3）如图3,当α=60°时,点E、F与点B重合.已知AB=4,设DP=x,△A1BB1的面积为
S,求S关于x的函数关系式.仔细解答第二问

如图1,在等边△ABC中,点D是边AC的中点,点P是线段DC上的动点(点 P与点C不重合),连结BP.将△ABP绕点P按如图1,在等边△ABC中,点D是边AC的中点,点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合),连结BP.将△ABP绕
（1）相似（1分）
由题意得：∠APA1=∠BPB1=α,AP=A1P,BP=B1P,
则∠PAA1=∠PBB1=180°-α2=90°-
α2,（2分）
∵∠PBB1=∠EBF,
∴∠PAE=∠EBF,
又∵∠BEF=∠AEP,∠EBF=∠EAP,
∴△BEF∽△AEP；（3分）
（2）存在,理由如下：（4分）
易得：△BEF∽△AEP,
若要使得△BEF≌△AEP,只需要满足BE=AE即可,（5分）
∴∠BAE=∠ABE,
∵∠BAC=60°,
∴∠BAE=60°-(90°-
α2)=
α2-30°,
∵∠ABE=β,∠BAE=∠ABE,（6分）
∴α2-30°=β,
即α=2β+60°；（7分）
（3）连接BD,交A1B1于点G,
过点A1作A1H⊥AC于点H．
∵∠B1A1P=∠A1PA=60°,
∴A1B1∥AC,
由题意得：AP=A1P=2+x,∠A=60°,
∴△PAA1是等边三角形,
∴A1H=sin60°A1P=32(2+x),（8分）
在Rt△ABD中,BD=2
3,
∴BG=2
3-
32(2+x)=
3-
32x,（9分）
∴S△A1BB1=
12×4×(
3-
32x)=2
3-
3x（0≤x＜2）．（10分）

http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/79c23b41-0ee3-4816-b94f-6730a2b7bc1e
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1） 相似
由题意得：∠APA1=∠BPB1=α AP= A1P BP=B1P
则 ∠PAA1 =∠PBB1 =
∵∠PBB1 =∠EBF ∴∠PAE=∠EBF
又∵∠BEF=∠AEP
∴△BEF ∽△AEP
（2）存在，理由如下：
易...

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1） 相似
由题意得：∠APA1=∠BPB1=α AP= A1P BP=B1P
则 ∠PAA1 =∠PBB1 =
∵∠PBB1 =∠EBF ∴∠PAE=∠EBF
又∵∠BEF=∠AEP
∴△BEF ∽△AEP
（2）存在，理由如下：
易得：△BEF ∽△AEP
若要使得△BEF≌△AEP，只需要满足BE=AE即可
∴∠BAE=∠ABE
∵∠BAC=60° ∴∠BAE=
∵∠ABE=β ∠BAE=∠ABE
∴ 即α=2β+60°
（3）连结BD，交A1B1于点G，
过点A1作A1H⊥AC于点H.

∵∠B1 A1P=∠A1PA=60° ∴A1B1∥AC
由题意得：AP= A1 P ∠A=60°
∴△PAA1是等边三角形
∴A1H= 在Rt△ABD中，BD=
∴BG=
∴ （0≤x＜2）

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