作业帮求解一道三重积分的题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 01:02:35
求解一道三重积分的题
求解一道三重积分的题
求解一道三重积分的题
解法一：换元法：
x = au,y = bv,z = cw
Ω*：(x/a)² + (y/b)² + (z/c)² ≤ 1 ==> u² + v² + w² ≤ 1,- ∞ < (a,b,c) < +∞
| x'u x'v x'w |
| y'u y'v y'w | = abc
| z'u z'v z'w |
I* = ∫∫∫(Ω*) (x + y + z)² dV
= abc∫∫∫(γ) [(a²u² + bv² + c²w²) + 2(abuv + bcvw + cawu)] dudvdw
= abc[∫a²∫∫∫(γ) u² dV + b²∫∫∫(γ) v² dV + c²∫∫∫(γ) w² dV]
= abc • (a² + b² + c²)∫∫∫(γ) u² dV
= abc(a² + b² + c²) • (1/3)∫∫∫(γ) (u² + v² + w²) dV
= (1/3)(abc)(a² + b² + c²) • ∫(0→2π) dθ ∫(0→π) sinφ dφ ∫(0→1) r⁴ dr
= (1/3)(abc)(a² + b² + c²) 2π * 2 * (1/5)
= (4/15)(a² + b² + c²)abcπ
∴Ω：(x/a)² + (y/b)² + (z/c)² ≤ 1、(a,b,c) > 0的情况
I = (1/8)I*
= (1/30)(a² + b² + c²)abcπ
解法二：广义极坐标：
{ x = arsinφcosθ
{ y = brsinφsinθ
{ z = crcosφ
I* = ∫(0→2π) dθ ∫(0→π) sinφ dφ ∫(0→1) r⁴(a²sin²φcos²θ + b²sin²φsin²θ + c²cos²φ) abc dr
= abc∫(0→2π) dθ ∫(0→π) (a²sin³φcos²θ + b²sin³φsin²θ + c²cos²φsinφ) dφ • 1/5
= (abc)(1/5)(2/3)∫(0→2π) (2a²cos²θ + 2b²sin²θ + c²) dθ
= (4/15)(a² + b² + c²)abcπ
∴I = (1/8)I*
= (1/30)(a² + b² + c²)abcπ