作业帮f(x)=2sinαcosα+2√2(cosα+sinα)+4 的值域怎么求
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 17:15:09
f(x)=2sinαcosα+2√2(cosα+sinα)+4 的值域怎么求
f(x)=2sinαcosα+2√2(cosα+sinα)+4 的值域怎么求
f(x)=2sinαcosα+2√2(cosα+sinα)+4 的值域怎么求
4=1+3=(sinα)^2+(cosα)^2+3
4+2sinαcosα=(sinα)^2+(cosα)^2+3+2sinαcosα=(sinα+cosα)^2+3
f(x)=2sinαcosα+2√2(cosα+sinα)+4
=(sinα+cosα)^2+3+2√2(cosα+sinα)【使用完全平方法】
=(cosα+sinα+√2)^2+1
=[√2(√2/2cosα+√2/2sinα)+√2]^2+1
=[√2(sin(α-45度）+√2]^2+1
=2[sin(α-45度）+1]^2+1
sin(α-45度)的值域是-1到1
代入可得f（x）的值域为[1,9]
希望能够帮到你
当然,楼上的换元法也是个简明的方法.因为不知道状况写了这么一大堆,真不好意思
令 cosα+sinα=t -√2≤t≤√2 ；2sinαcosα=t^2-1
f(α)=2sinαcosα+2√2(cosα+sinα)+4=f(t)=t^2-1++2√2t+4=(t+√2)^2+1;
当t=-√2时有最小值1, 当 t=√2 时有最大值 9
值域是[1,9]
设sinα+cosα=t,则t∈[-√2，√2],sinαcosα=(t^2-1)/2,
f(x)=2sinαcosα+2√2(cosα+sinα)+4
=t^2-1+2√2t+4
=(t+√2）^2+1,记为g(t)↑；g(-√2）=1，g(√2）=9，
∴f(x)的值域是[1,9].