问一道数学证明题:已知M是平行四边形ABCD的中心,求证:对平面上任意一点O,有向量OM=1/4(向量OA+向量OB+

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 04:00:48
问一道数学证明题:已知M是平行四边形ABCD的中心,求证:对平面上任意一点O,有向量OM=1/4(向量OA+向量OB+

问一道数学证明题:已知M是平行四边形ABCD的中心,求证:对平面上任意一点O,有向量OM=1/4(向量OA+向量OB+
问一道数学证明题:已知M是平行四边形ABCD的中心,求证:对平面上任意一点O,有向量OM=1/4(向量OA+向量OB+

问一道数学证明题:已知M是平行四边形ABCD的中心,求证:对平面上任意一点O,有向量OM=1/4(向量OA+向量OB+
设M为坐标原点,那么平行四边形ABCD的四个顶点坐标是:
A(X1,y1)、B(X2,y2)、C(-X1,-y1)、A(-X2,-y2).
再设任意一点O的坐标为(X0,y0),
向量OM=(x0,y0)、
向量OA=(x0-x1,y0-y1)、
向量OB=(x0-x2,y0-y2)、
向量OC=(x0+x1,y0+y1)、
向量OD=(x0+x2,y0+y2)
不难看出:向量OA+向量OB+向量OC+向量OD=(4x0,4y0).

回答:
由于M是AC的中点,所以OM = (1/2)(OA+OC);又由于M是BD的中点,所以OM = (1/2)(OB+OD)。将该两式左边和右边各自相加并除以2,得OM = (1/4)(OA+OB+OC+OD)。

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