作业帮设f(x)是定义在R上的奇函数,y=f(x+1/2)为偶函数,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 13:00:06
设f(x)是定义在R上的奇函数,y=f(x+1/2)为偶函数,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=?
设f(x)是定义在R上的奇函数,y=f(x+1/2)为偶函数,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=?
设f(x)是定义在R上的奇函数,y=f(x+1/2)为偶函数,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=?
∵f(x+1/2)是偶函数,
∴f(x)满足：f(x+1/2)=f(-x+1/2),即f(1-x)=f(x),（*）
又f(x)为R上的奇函数,
∴f(0)=0,
在（*）中令x=0,得f(1)=f(0)=0,
在（*）中令x=2,f(2)=f(-1)= -f(1)=0,
在（*）中令x=3,f(3)=f(-2)= -f(2)=0,
在（*）中令x=4,f(4)=f(-3)= -f(3)=0,
故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.
∵f(x+1/2)是偶函数，
∴f(x)满足：f(x+1/2)=f(-x+1/2)，即f(1-x)=f(x)，（*）
又f(x)为R上的奇函数，
∴f(0)=0，
在（*）中令x=0，得f(1)=f(0)=0，
在（*）中令x=2，f(2)=f(-1)= -f(1)=0，
在（*）中令x=3，f(3)=f(-2)= -f(2)=0，
在（*）...
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∵f(x+1/2)是偶函数，
∴f(x)满足：f(x+1/2)=f(-x+1/2)，即f(1-x)=f(x)，（*）
又f(x)为R上的奇函数，
∴f(0)=0，
在（*）中令x=0，得f(1)=f(0)=0，
在（*）中令x=2，f(2)=f(-1)= -f(1)=0，
在（*）中令x=3，f(3)=f(-2)= -f(2)=0，
在（*）中令x=4，f(4)=f(-3)= -f(3)=0，
故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.
收起
由题设可得fx=fx+1，因为FX为奇函数，有F0=0，所以f1=f2=f3=f4=0,即原式等于零