物理的追及相遇问题物理的追及相遇问题

物理的追及相遇问题物理的追及相遇问题
物理的追及相遇问题
物理的追及相遇问题

物理的追及相遇问题物理的追及相遇问题

1.追及和相遇问题
当两个物体在同一直线上运动时,由于两物体的运动情况不同,所以两物体之间的距离会不断发生变化,两物体间距会越来越大或越来越小,这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题.
2.追及问题的两类情况
(1)速度大者减速(如匀减速直线运动)追速度小者(如匀速运动)：
①当两者速度相等时,若两者位移之差仍小于初始时的距离,则永远追不上,此时两者间有　最小　距离.
②若两者位移之差等于初始时的距离,且两者速度相等时,则恰能追上,也是两者相遇时　避免碰撞　的临界条件.
③若两者位移之差等于初始时的距离时,追者速度仍大于被追者的速度,则被追者还有一次追上追者的机会,其间速度相等时两者间距离有　一个极大　值.
(2)速度小者加速(如初速度为零的匀加速直线运动)追速度大者(如匀速运动)：
①当两者速度相等时有　最大距离　.
②若两者位移之差等于初始时的距离时,则追上.
3.相遇问题的常见情况
(1)同向运动的两物体追及即相遇.
(2)相向运动的物体,当各自发生的位移大小和等于开始时两物体的距离时即相遇.
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一、追及和相遇问题的常见情形
1.速度小者追速度大者常见的几种情况：
类型
图象
说明
匀加速追匀速

①t＝t0以前,后面物体与前面物体间距离增大
②t＝t0时,两物体相距最远为x0＋Δx
③t＝t0以后,后面物体与前面物体间距离减小
④能追及且只能相遇一次
注：x0为开始时两物体间的距离
匀速追匀减速

匀加速追匀减速　

2.速度大者追速度小者常见的情形：
类型
图象
说明
匀减速追匀速

开始追及时,后面物体与前面物体间距离在减小,当两物体速度相等时,即t＝t0时刻：
①若Δx＝x0,则恰能追及,两物体只能相遇一次,这也是避免相撞的临界条件
②若Δx<x0,则不能追及,此时两物体间最小距离为x0－Δx
③若Δx>x0,则相遇两次,设t1时刻Δx1＝x0两物体第一次相遇,则t2时刻两物体第二次相遇
注：x0是开始时两物体间的距离
匀速追匀加速

匀减速追匀加速　

二、追及、相遇问题的求解方法
分析追及与相遇问题大致有两种方法,即数学方法和物理方法,具体为：
方法1：利用临界条件求解.寻找问题中隐含的临界条件,例如速度小者加速追赶速度大者,在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者,在两物体速度相等时有最小距离.
方法2：利用函数方程求解.利用不等式求解,思路有二：其一是先求出在任意时刻t两物体间的距离y＝f(t),若对任何t,均存在y＝f(t)>0,则这两个物体永远不能相遇；若存在某个时刻t,使得y＝f(t)≤0,则这两个物体可能相遇.其二是设在t时刻两物体相遇,然后根据几何关系列出关于t的方程f(t)＝0,若方程f(t)＝0无正实数解,则说明这两物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解,则说明这两个物体可能相遇.
方法3：利用图象求解.若用位移图象求解,分别作出两个物体的位移图象,如果两个物体的位移图象相交,则说明两物体相遇；若用速度图象求解,则注意比较速度图线与t轴包围的面积.
方法4：利用相对运动求解.用相对运动的知识求解追及或相遇问题时,要注意将两个物体对地的物理量(速度、加速度和位移)转化为相对的物理量.在追及问题中,常把被追及物体作为参考系,这样追赶物体相对被追物体的各物理量即可表示为：s相对＝s后－s前＝s0,v相对＝
v后－v前,a相对＝a后－a前,且上式中各物理量(矢量)的符号都应以统一的正方向进行确定.
三、分析追及、相遇问题的思路和应注意的问题
1.解“追及”、“相遇”问题的思路
(1)根据对两物体运动过程的分析,画出物体的运动示意图.
(2)根据两物体的运动性质,分别列出两物体的位移方程.注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中.
(3)由运动示意图找出两物体位移间的关联方程.
(4)联立方程求解.
2.分析“追及”、“相遇”问题应注意的几点
(1)分析“追及”、“相遇”问题时,一定要抓住“一个条件,两个关系”：
“一个条件”是两物体的速度满足的临界条件,如两物体距离最大、最小、恰好追上或恰好追不上等.
“两个关系”是时间关系和位移关系.其中通过画草图找到两物体位移之间的数量关系,是解题的突破口.因此,在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯,因为正确的草图对帮助我们理解题意、启迪思维大有裨益.
(2)若被追赶的物体做匀减速运动,一定要注意追上该物体前是否停止运动.
(3)仔细审题,注意抓住题目中的关键字眼,充分挖掘题目中的隐含条件,如“刚好”、“恰好”、“最多”、“至少”等,往往对应一个临界状态,要满足相应的临界条件.
典例精析
1.运动中的追及和相遇问题
【例1】在一条平直的公路上,乙车以10 m/s的速度匀速行驶,甲车在乙车的后面做初速度为15 m/s,加速度大小为0.5 m/s2的匀减速运动,则两车初始距离L满足什么条件时可以使(1)两车不相遇；(2)两车只相遇一次；(3)两车能相遇两次(设两车相遇时互不影响各自的运动).
【解析】设两车速度相等经历的时间为t,则甲车恰能追上乙车时,应有
v甲t－ ＝v乙t＋L
其中t＝ ,解得L＝25 m
若L>25 m,则两车等速时也未追及,以后间距会逐渐增大,即两车不相遇.
若L＝25 m,则两车等速时恰好追及,两车只相遇一次,以后间距会逐渐增大.
若L<25 m,则两车等速时,甲车已运动至乙车前面,以后还能再次相遇,即能相遇两次.
【思维提升】对于追及和相遇问题的处理,要通过两质点的速度进行比较分析,找到隐含条件(即速度相同时,两质点间距离最大或最小),再结合两个运动的时间关系、位移关系建立相应方程求解.
【拓展1】两辆游戏赛车a、b在两条平行的直车道上行驶.t＝0时两车都在同一计时处,此时比赛开始.它们在四次比赛中的v-t图象如图所示.哪些图对应的比赛中,有一辆赛车追上另一辆                                                                    ( AC )
【解析】由v-t图象的特点可知,图线与t轴所围成面积的大小,即为物体位移的大小.观察4个图象,只有A、C选项中,a、b所围面积的大小有相等的时刻,故A、C正确.
2.追及、相遇问题的求解
【例2】在水平轨道上有两列火车A和B相距s,A车在后面做初速度为v0、加速度大小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动,两车运动方向相同.要使两车不相撞,求A车的初速度v0应满足什么条件?
【解析】解法一：(物理分析法)A、B车的运动过程(如图所示)利用位移公式、速度公式求解.
对A车有sA＝v0t＋ ×(－2a)×t2
vA＝v0＋(－2a)×t
对B车有sB＝ at2,vB＝at
两车有s＝sA－sB
追上时,两车不相撞的临界条件是vA＝vB
联立以上各式解得v0＝
故要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0≤
解法二：(极值法)利用判别式求解,由解法一可知sA＝s＋sB,即v0t＋ ×(－2a)×t2＝s＋ at2
整理得3at2－2v0t＋2s＝0
这是一个关于时间t的一元二次方程,当根的判别式Δ＝(2v0)2－4×3a×2s<0时,t无实数解,即两车不相撞,所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0≤
解法三：(图象法)利用速度—时间图象求解,先作A、B两车的速度—时间图象,其图象如图所示,设经过t时间两车刚好不相撞,则对A车有vA＝v＝v0－2at
对B车有vB＝v＝at
以上两式联立解得t＝
经t时间两车发生的位移之差,即为原来两车间的距离s,它可用图中的阴影面积表示,由图象可知
s＝ v0•t＝ v0•
所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0≤
【思维提升】三种解法中,解法一注重对运动过程的分析,抓住两车间距有极值时速度应相等这一关键条件来求解；解法二中由位移关系得到一元二次方程,然后利用根的判别式来确定方程中各系数间的关系,这也是中学物理中常用的数学方法；解法三通过图象不仅将两物体运动情况直观、形象地表示出来,也可以将位移情况显示,从而快速解答.
【拓展2】从地面上以初速度2v0竖直上抛物体A,相隔Δt时间后再以初速度v0竖直上抛物体B.要使A、B在空中相遇,Δt应满足什么条件?
【解析】A、B两物体都做竖直上抛运动,由s＝v0t－ gt2作出它们的s-t图象,如图所示.显然,两图线的交点表示A、B相遇(sA＝sB).
由图象可看出Δt满足关系式 时,A、B在空中相遇.
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3.分析追及、相遇问题的思路
【例3】现检测汽车A的制动性能：以标准速度20 m/s在平直公路上行驶时,制动后40 s停下来.若A在平直公路上以20 m/s的速度行驶时发现前方180 m处有一货车B以6 m/s 的速度同向匀速行驶,司机立即制动,能否发生撞车事故?
【错解】设汽车A制动后40 s的位移为x1,货车B在这段时间内的位移为x2.
据a＝ 得车的加速度a＝－0.5 m/s2
又x1＝v0t＋ at2得
x1＝20×40 m＋ ×(－0.5)×402 m＝400 m
x2＝v2t＝6×40 m＝240 m
两车位移差为400 m－240 m＝160 m
因为两车刚开始相距180 m>160 m
所以两车不相撞.
【错因】这是典型的追及问题.关键是要弄清不相撞的条件.汽车A与货车B同速时,两车位移差和初始时刻两车距离关系是判断两车能否相撞的依据.当两车同速时,两车位移差大于初始时刻的距离时,两车相撞；小于、等于时,则不相撞.而错解中的判据条件错误导致错解.
【正解】如图,汽车A以v0＝20 m/s的初速度做匀减速直线运动经40 s停下来.据加速度公式可求出a＝－0.5 m/s2.当A车减为与B车同速时,是A车逼近B车距离最多的时刻,这时若能超过B车则相撞,反之则不能相撞.

据v2－ ＝2ax可求出A车减为与B车同速时的位移
x1＝ m＝364 m
此时间t内B车的位移为x2,则t＝ s＝28 s
x2＝v2t＝6×28 m＝168 m
Δx＝364 m－168 m＝196 m>180 m
所以两车相撞.
【思维提升】分析追及问题应把两物体的位置关系图(如解析中图)画好.通过此图理解物理情景.本题也可以借助图象帮助理解,如图所示,阴影区是A车比B车多通过的最大距离,这段距离若能大于两车初始时刻的距离则两车必相撞.小于、等于则不相撞.从图中也可以看出A车速度成为零时,不是A车比B车多走距离最大的时刻,因此不能作为临界条件分析.