作业帮【高二数学】抛物线圆锥曲线的题目》》》正方形的一条边AB在直线y=x+4上,顶点C,D在抛物线y^2=x上,求正方形的边长.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 18:17:55
【高二数学】抛物线圆锥曲线的题目》》》正方形的一条边AB在直线y=x+4上,顶点C,D在抛物线y^2=x上,求正方形的边长.
【高二数学】抛物线圆锥曲线的题目》》》
正方形的一条边AB在直线y=x+4上,顶点C,D在抛物线y^2=x上,求正方形的边长.
【高二数学】抛物线圆锥曲线的题目》》》正方形的一条边AB在直线y=x+4上,顶点C,D在抛物线y^2=x上,求正方形的边长.
设直线CD为：y=x+b
把直线带入抛物线：
x²+（2b-1）x+b²=0
(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2
=1-4b
边长²=2-8b
边长=（4-b）/√2
即：（b²+16-8b)/2=2-8b
b=-2 或者b=-6
边长=3√2或者=5√2
上面的解题我也赞同！
也可以有这样的思路
设
C（Y1^2,Y1）D（Y2^2,Y2）Y1>0 Y2=<0
CD与AB平行 斜率相等
(Y1-Y2)/(Y1^2-Y2^2)=1 Y1+Y2=1
然后是C到直线的距离与CD相等
（Y1^2-Y1+4）/√2=√（Y1^2-Y2^2）^2+(Y1-Y2)^2
得 Y1=2 Y2=-3 ...
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上面的解题我也赞同！
也可以有这样的思路
设
C（Y1^2,Y1）D（Y2^2,Y2）Y1>0 Y2=<0
CD与AB平行 斜率相等
(Y1-Y2)/(Y1^2-Y2^2)=1 Y1+Y2=1
然后是C到直线的距离与CD相等
（Y1^2-Y1+4）/√2=√（Y1^2-Y2^2）^2+(Y1-Y2)^2
得 Y1=2 Y2=-3 Y1=3 Y2=-4
边长=（Y1^2-Y1+4）/√2 =3√2或=5√2
收起
由题可知CD的斜率等于AB的斜率即1，所以设CD的方程为：y=x+b.
代入y^2=x中，得x^2+x(2b-1)+b^2.又由韦达定理，得
x1+x2=1-2b,x1*x2=b^2.设C（x1,y1）,D（x2,y2）,
则CD=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]=√[2(x2-x1)^2]=√{2[(x2+x1)^2-4x1x2]}
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由题可知CD的斜率等于AB的斜率即1，所以设CD的方程为：y=x+b.
代入y^2=x中，得x^2+x(2b-1)+b^2.又由韦达定理，得
x1+x2=1-2b,x1*x2=b^2.设C（x1,y1）,D（x2,y2）,
则CD=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]=√[2(x2-x1)^2]=√{2[(x2+x1)^2-4x1x2]}
=√[2(1-4b)].
又图形是正方形，所以点C到AB的距离等于CD的长，即利用点到直线的距离公式，有√[2(1-4b)]=│y1-x1-4│/√2=│b-4│/√2,解得b=-2或b=-6。
又1-4b≥0,b≤1/4.即b=-2或b=-6均符合，代入CD=√[2(1-4b)]，得CD=3√2
或CD=5√2。
即边长为3√2或5√2。
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