已知平面内向量a,b,c两两所成角相等,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则|a+b+c|的长度

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/13 16:59:32

已知平面内向量a,b,c两两所成角相等,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则|a+b+c|的长度
已知平面内向量a,b,c两两所成角相等,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则|a+b+c|的长度

已知平面内向量a,b,c两两所成角相等,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则|a+b+c|的长度
|a+b+c|²=a²＋b²＋c²＋2ab＋2bc＋2ca=1²＋2²＋3²＋2IaIIbIcosθ1＋2IbIIcIcosθ2＋2IcIIaIcosθ3
=1²＋2²＋3²＋2x1x2·cosθ1＋2x2x3·cosθ2＋2x3x1·cosθ3
当两两所成角相等：θ1=θ2=θ3=0°时,|a+b+c|²=36,∴|a+b+c|=6
当两两所成角相等：θ1=θ2=θ3=120°时,|a+b+c|²=3,∴|a+b+c|=√3
故|a+b+c|的长度为√3或6.

1）若它们两两所成角为0，则显然|a+b+c|=6
2）若它们两两所成角不为0，则为120度，
所以 a*b=-1，b*c=-3，c*a=-3/2
由（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2a*b+2b*c+2c*a=1+4+9-2-6-3=3得
|a+b+c|=√3
综上，|a+b+c|=6或√3。

|a＋b＋c|=√3 or 6；

①两两成角为0°
＝>
|a＋b＋c|
=1＋2＋3
=6
②两两成角为120°
＝>
a*b=-1
b*c=-3
c*a=-3/2
又∵
(a＋b＋c)²
=a²＋b²＋c²＋2a*b＋...

全部展开

|a＋b＋c|=√3 or 6；

①两两成角为0°
＝>
|a＋b＋c|
=1＋2＋3
=6
②两两成角为120°
＝>
a*b=-1
b*c=-3
c*a=-3/2
又∵
(a＋b＋c)²
=a²＋b²＋c²＋2a*b＋2b*c＋2a*c
=1＋4＋9－2－6－3
=3
∴|a＋b＋c|=√3
（注：此“*”处表点乘）
综上可得：
|a＋b＋c|=6或√3

收起

1）若它们两两所成角为0，则显然|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=5
2）若它们两两所成角不为0，则为120度，
所以 a*b=-1/2，b*c=-3/2，c*a=-3/2
由（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2a*b+2b*c+2c*a=1+1+9-1-3-3=4得
|a+b+c|=2
综上，|a+b+c|=5或2。