作业帮线性代数 R(A)=R(ATA) 如何证明?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 14:50:48
线性代数 R(A)=R(ATA) 如何证明?
线性代数 R(A)=R(ATA) 如何证明?
线性代数 R(A)=R(ATA) 如何证明?
构造两个齐次线性方程组：
（1）Ax=0,(2)(AT A)x=0
如果这两个方程组同解,则两个方程组的系数矩阵有相同的秩,R(A)=R(AT A)=n-基础解系中向量个数.
这个很好理解对吧,《线性代数》的基本内容.
现在来证明它们同
首先,如果x1是（1）的解,那么它肯定也是（2）的解,因为将其代入（2）：
(AT A)x1=AT (Ax1)=AT *0=0
其次证明（2）的解也是（1）的
设x1是（2）的解,则AT A x1=0
进一步有：x1T AT A x1=0
即(Ax1)T (Ax1)=0
假设Ax1＝[a1,a2,...,an]T
则(Ax1)T(Ax1)=0就是a1^2+a2^2+...+an^2=0
那么只有a1=a2=...=an=0
也就是Ax1=0
至此说明了(2)的解也是(1)的解.
于是R(A)=R(AT A)
假设A为n阶矩阵
R(ATA) >= R(AT) + R(A) - n = n
R(ATA) <= min(R(AT) + R(A)) = n
所以 R(A)=R(ATA)
如果你知道奇异值分解，那么结论显然。
如果不知道就这样做：
若r(A)=k，那么可以用Gauss消去法把A消成梯阵，即CA=U，其中C是行初等变换的乘积，U仅有前k行非零且线性无关。
于是CAA^TC^T=UU^T，UU^T具有
B 0
0 0
的分块结构，其中B是k阶的满秩矩阵。又C是可逆的，所以r(AA^T)=r(B)=k=r(A)。
再...
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如果你知道奇异值分解，那么结论显然。
如果不知道就这样做：
若r(A)=k，那么可以用Gauss消去法把A消成梯阵，即CA=U，其中C是行初等变换的乘积，U仅有前k行非零且线性无关。
于是CAA^TC^T=UU^T，UU^T具有
B 0
0 0
的分块结构，其中B是k阶的满秩矩阵。又C是可逆的，所以r(AA^T)=r(B)=k=r(A)。
再利用r(A)=r(A^T)得r(A^T*A)=r(A^T)。
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