作业帮数列 (15 22:41:41)已知数列an中,a1= -1,a(n+1)*an=a(n+1)-an,证明数列1/an是等差数列.并求an的通项公式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 19:30:55
数列 (15 22:41:41)已知数列an中,a1= -1,a(n+1)*an=a(n+1)-an,证明数列1/an是等差数列.并求an的通项公式
数列 (15 22:41:41)
已知数列an中,a1= -1,a(n+1)*an=a(n+1)-an,证明数列1/an是等差数列.并求an的通项公式
数列 (15 22:41:41)已知数列an中,a1= -1,a(n+1)*an=a(n+1)-an,证明数列1/an是等差数列.并求an的通项公式
a(n+1)*an=a(n+1)-an
两边同除以a(n+1)*an：
1/an-1/a(n+1)=1
1/a(n+1)-1/an=-1
1/an是首项为1/a1=-1,公差为-1的等差数列；
1/an=1/a1-(n-1)
=-n
an=-1/n
两边同除以a(n+1)*an,得1=1/an-1/a(n+1)
a(n+1)*an=a(n+1)-an
等式两边同除以a(n+1)*an得
1=1/an-1/a(n+1)
1/a(n+1)-1/an=-1
所以数列1/an是等差数列
1/an-1/(an-1)=-1
1/(an-1)-1/(an-2)=-1
..........
1/a4-1/a3=-1
1/a3-1/a2=-1<...
全部展开
a(n+1)*an=a(n+1)-an
等式两边同除以a(n+1)*an得
1=1/an-1/a(n+1)
1/a(n+1)-1/an=-1
所以数列1/an是等差数列
1/an-1/(an-1)=-1
1/(an-1)-1/(an-2)=-1
..........
1/a4-1/a3=-1
1/a3-1/a2=-1
1/a2-1/a1=-1
以上等式相加得
1/an-1/a1=-(n-1)
1/an+1=-n+1
1/an=-n
an=-1/n
收起
因为a1=-1
所以1/a1=-1
又因为a(n+1)*an=a(n+1)-an
所以an=1-an/a(n+1)
1/an=1-a(n+1)/an
令an分别等于1、2、3，带入上面的等式就能得出a1 a2 a3 分别等于-1 -2 -3
d等于-1
所以是等差数列