作业帮泰勒公式证明题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 00:57:13
泰勒公式证明题
泰勒公式证明题
泰勒公式证明题
首先由f(x)在[a,b]上连续知|f(x)|也是连续的,因此|f(x)|在闭区间[a,b]上取得最大值max|f(x)|,由于f(a)=f(b)=0且f(x)不恒为常数（因为|f''(x)|≥1）,所以|f(x)|的最大值一定在开区间(a,b)内取得,因此是极大值点,设该点为c,则根据费马定理,f'(c)=0.现在将f(x)在c点处泰勒展开,有f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+f''(ξ)(x-c)^2/2=f(c)+f''(ξ)(x-c)^2/2,因此|f(x)-f(c)|≥(x-c)^2/2,把x=a和x=b分别代人上式,由f(a)=f(b)=0得|f(c)|≥(a-c)^2/2和|f(c)|≥(b-c)^2/2,两式相加得|f(c)|≥[(a-c)^2+(b-c)^2]/4,由于当c=(a+b)/2时,(a-c)^2+(b-c)^2取得最小值(b-a)^2/2,因此|f(c)|≥(b-a)^2/8.