作业帮正方行ABCD中一点E分别连接ABCD点,角EAB和角EBA都是15度角,求正三角行DEC 为等边三角形
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 03:56:20
正方行ABCD中一点E分别连接ABCD点,角EAB和角EBA都是15度角,求正三角行DEC 为等边三角形
正方行ABCD中一点E分别连接ABCD点,角EAB和角EBA都是15度角,求正三角行DEC 为等边三角形
正方行ABCD中一点E分别连接ABCD点,角EAB和角EBA都是15度角,求正三角行DEC 为等边三角形
不能通过简单的角边相等来证,只能通过求角为60或三边相等,并且繁简一样,都用到解斜三角形.下面是我的证明,仅作参考.
设正方形边长为a,
过E作EF垂直AB于F,EAB=角EBA,三角形EAB为等腰三角形,所以F为AB中点,
在RT△EAB中,AF=BF=a/2,
易求 cos15=√（1+cos30/2）=（√6+√2）/4,sin15=（√6-√2）/4
所以 AE=BE=AF / cos15=（√6-√2）*a/2
在三角形AED中,角DAE=90- EAB=75
cos75= sin15=（√6-√2）/4
由余弦定理有,
DE^2=AE^2+AD^2-2*AE*AD*cos75
=(（√6-√2）*a/2)^2+a^2-2*（√6-√2）*a/2*a*（√6-√2）/4
=a^2(前后两个大项正好约掉,都不用展开了)
推出DE=a
同理 CE=a
由此 DC=DE= CE =a
三角形EDC为等边三角形.
用重合法：以DC为底，向内作正三角形⊿FDC,可知∠ADF=30°,又DF=AD, ∠DAF=∠DFA=75°,∠FAB=15°.同理，∠ABF=15°,∴F与E重合。
⊿DCE为正三角形。
在正方形内，∠EAB=∠EBA，可知AE=BE
AC=BD，∠EAC=∠EBD，可知⊿AEC=⊿BED，EC=ED
∴⊿CED为等边三角形
无法画图上去，上边左A右B，下边左C右D，E在正方形内。
换点，也是同理
可以得出AE=BE,角DAE=角=75度，从而得到三角形DAE全等于三角形CBE，所以DE=CE、角AED=角BEC,利用代数知识90-角DCE=角ECB，360度-150度-角DEC=两倍的角BEC,角ECB+角BEC=180-75度，2被角ECD+角DEC=180度。所以可得出角DEC=角CDE=60度，即证得！