作业帮请给我柯西不等式的证明证明柯西不等式,写的详细点,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 10:14:09
请给我柯西不等式的证明证明柯西不等式,写的详细点,
请给我柯西不等式的证明
证明柯西不等式,写的详细点,
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Cauchy不等式的形式化写法就是：
记两列数分别是ai, bi,则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.
令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论.
还可以用向量来证.
m=(a1,a2.an) n=(b1,b2.bn)
mn=a1b1+a2b2+.+anbn=(a1^+a2^+.+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+.+bn^)^1/2乘以cosX．
因为cosX小于等于1,所以：a1b1+a2b2+.+anbn小于等于a1^+a2^+.+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+.+bn^)^1/2
这就证明了不等式．
柯西不等式还有很多种方法证,这里只写出两种较常用的证法．
构造f(X)=(a1^2+a^2)*X^2+2*(a1b1+a2b2)*X+(b1^2+b2^2)
变形f(X)=(a1*X+b1)^2+(a2*X+b2)^2恒大于等于0
若a1^2+a^2=0，则有a1=0,a2=0,b1=0,b2=0，得证
若a1^2+a^2〉0，则 =[2*(a1b1+a2b2)]^2-4*(a1^2+a^2)*(b1^2+b2^2)<=0,化简.......
就这样
如证明：（A^2+B^2+C^2）乘以（a^2+b^2+c^2）大于等于（Aa+Bb+Cc）^2 (*)
可令f(x)=(Ax-a)^2+(Bx-b)^2+(Cx-c)^2>=0
A,B,C>0
所以f(x)展开式中，判别式<=0,即(*)成立
对n元的情况可以此类推
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或者你直接在www.google.cn上搜索柯西不等式证明
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