已知数列an满足:an+1-2an=2^n+1,且a1=2 (1)证明{an/2^n}是等差数列 (2)求数列an的

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/28 05:17:14
已知数列an满足:an+1-2an=2^n+1,且a1=2 (1)证明{an/2^n}是等差数列 (2)求数列an的

已知数列an满足:an+1-2an=2^n+1,且a1=2 (1)证明{an/2^n}是等差数列 (2)求数列an的
已知数列an满足:an+1-2an=2^n+1,且a1=2 (1)证明{an/2^n}是等差数列 (2)求数列an的

已知数列an满足:an+1-2an=2^n+1,且a1=2 (1)证明{an/2^n}是等差数列 (2)求数列an的
不知道你的2^n+1是不是2^(n+1)
(1)对an+1-2an=2^n+1两边同时除以2^(n+1)得a(n+1)/2^(n+1)-an/2^n=1
因为a1/2=1,所以数列{an/2^n}是以1为首项,1为公差的等差数列
那么有an/2^n=1+(n-1)*1=n
所以an=n*2^n
(2)由(1)知sn=1*2+2*2^2+3*2^3+..+n*2^n
2sn=1*2^2+2*2^3+3*2^4+..+(n-1)2^n+n*2^(n+1)
得 sn-2sn= 1* 2 +(2^2+2^3+2^4..+2^n)-n*2^(n+1)
即 sn= - (2+2^2+2^3+2^4+..+2^n)+n*2^(n+1
sn= -[1*(1-2^n)]+n*2^(n+1)
=-1-2^n+n*2^(n+1)
=(4n-1)*2^(n-1)- 1

1.两边同时除以2^n+1,上式化为an+1/(2^n+1)-an/(2^n)=1 为等差数列
2.由等差数列公差为1得,an/2^n=a1/2+1*(n-1)=n 所以an=2^n