作业帮高等数学广义积分
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 13:03:54
高等数学广义积分
高等数学广义积分
高等数学广义积分
1.原积分=∫(lnx)^(-p) d(lnx) (x下限2,上限正无穷)
设y=lnx,则原积分化为：
∫y^(-p) *dy (y下限ln2,上限正无穷)
当p=1时,原积分化为：
∫dy/y(y下限ln2,上限正无穷)
=lim(y趋于正无穷)lny-ln(ln2)
显然,后项为常数项,无关发散性,而前项显然当y趋于正无穷时,极限就是正无穷,换句话说,极限不存在,故,p=1时原广义积分是发散的；
当p≠1时,原广义积分可化为：
y^(1-p) /(1-p) （y下限ln2,上限正无穷）
=lim(y趋于正无穷) y^(1-p) /(1-p) -(ln2)^(1-p) /(1-p) ①
明显可以观察出,后一项一定为常数,于是,要是想要原广义积分收敛,必须使前项lim(y趋于正无穷) y^(1-p) /(1-p) 这个极限值存在
要想此极限存在,根据幂函数的性质,只需指数项(1-p)1就可以
综合上述p=1和p≠1两种情况,可以分析出：当p>1时,原广义积分是收敛的
2.要想让原广义积分值最小,首先需要满足原广义积分是存在的,所以首先要使p>1
另外,当原广义积分存在时,前面①式中的前项必为0（幂函数的几个特殊极限值）,所以原广义积分在收敛的情况下,可化为：
(ln2)^(1-p) /(p-1)=ln2 *[(ln2)^(-p) /(p-1)]
问题转化为：当p取何值时,上式能取得最小值,此为极值问题
设f(p)=(ln2)^(-p) /(p-1) (原式中的ln2项是大于0的常数,故它并不影响最小值的确定,为了简化运算,故不考虑此项)
题目的要求等价于求函数f(p)在p>1的自变量范围内取得最小值时自变量p的取值,可通过求得函数的驻点而得到此值：
对f(p)求p的导数：
f'(p)=-[ln(ln2)]^(-p) * {ln(ln2)*p-[ln(ln2)-1]} / (p-1)^
令f'(p)=0,可得出唯一驻点p=1-1/ln(ln2)
可验证此p值时在p>1的范围之内的,故此极值符合题意
同样,可以验证当p>1-1/ln(ln2)时,f'(p)>0,当p