线性代数证明可逆已知E+AB可逆(其中E为单位矩阵),试证E+BA也可逆,且有[(E+BA)-1]=E-B[(E+AB)-1]A -1是上标表示逆矩阵

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 06:02:13

线性代数证明可逆已知E+AB可逆(其中E为单位矩阵),试证E+BA也可逆,且有[(E+BA)-1]=E-B*[(E+AB)-1]*A -1是上标表示逆矩阵
线性代数证明可逆
已知E+AB可逆(其中E为单位矩阵),试证E+BA也可逆,且有[(E+BA)-1]=E-B*[(E+AB)-1]*A -1是上标表示逆矩阵

线性代数证明可逆已知E+AB可逆(其中E为单位矩阵),试证E+BA也可逆,且有[(E+BA)-1]=E-B*[(E+AB)-1]*A -1是上标表示逆矩阵
只要验证 (E+BA)*{E-B*[(E+AB)-1]*A} 与 {E-B*[(E+AB)-1]*A}*(E+BA) 都是单位阵E就行了.
(E+BA)*{E-B*[(E+AB)-1]*A}
=(E+BA)-(E+BA)*B*[(E+AB)-1]*A ( 利用(E+BA)*B=B+BAB=B*(E+AB) )
=(E+BA)-B*（E+AB)*[(E+AB)-1]*A
=(E+BA)-BA=E 即(E+BA)*{E-B*[(E+AB)-1]*A} 是单位阵E.
对第二式完全类似,注意利用 A*(E+BA)=(E+AB)*A 即可.

这是一道验证性题目，只要把(E+BA）*（E-B*[(E+AB)-1]*A ）=E就行了，同样的题目你可以去查一下王品超老师编的《高等代数解题新思路》，书中明确说明了许多代数中求逆的方法手段，希望对你有帮助！

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