作业帮一道高一函数与数列结合的综合题（高手请进!）若奇函数f(x)=(ax²+bx+c)/（cx+d）(x≠0,a>1),且当x>0时,f(x)有最小值2√2,又f(1)=3;(1)求f(x)的表达式（2）设数列{an|满足a1=2,f(an)=an+2a（n＋1）（n∈N＋
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 00:17:46
一道高一函数与数列结合的综合题（高手请进!）若奇函数f(x)=(ax²+bx+c)/（cx+d）(x≠0,a>1),且当x>0时,f(x)有最小值2√2,又f(1)=3;(1)求f(x)的表达式（2）设数列{an|满足a1=2,f(an)=an+2a（n＋1）（n∈N＋
一道高一函数与数列结合的综合题（高手请进!）
若奇函数f(x)=(ax²+bx+c)/（cx+d）(x≠0,a>1),且当x>0时,f(x)有最小值2√2,又f(1)=3;
(1)求f(x)的表达式
（2）设数列{an|满足a1=2,f(an)=an+2a（n＋1）（n∈N＋）,令bn＝（an－1）／（an＋1）,求数列｛bn｝的通项公式,并加以说明.
注：（2）中的n,n＋1都是下标
我同学做出的答案为（1）f(x)＝（2x²＋1）／x
（2）bn＝（1／3）＾〔2＾（n－1）〕
主要是第二小问，好像是构造法
一道高一函数与数列结合的综合题（高手请进!）若奇函数f(x)=(ax²+bx+c)/（cx+d）(x≠0,a>1),且当x>0时,f(x)有最小值2√2,又f(1)=3;(1)求f(x)的表达式（2）设数列{an|满足a1=2,f(an)=an+2a（n＋1）（n∈N＋
1 f(1)=3 a+b=2c+3d
f(-1)=-3 a-b=2c-3d a=2c b=3d
f(x)=(ax²+bx+c)/（cx+d）=(2x²+3d/cx+1)/（x+d/c)=(2(x²+2d/cx+d^2/c^2)-d/cx-d^2/c^2+1-d^2/c^2)/（x+d/c)=2（x+d/c)-d/c+(1-d^2/c^2)/（x+d/c)>=
2(2(1-d^2/c^2))^(1/2)-d^2/c^2 =2√2 d^2/c^2=0 b=d=0
f(x)=(ax²+c)/（cx)=(2x²＋1）／x
2 f(an)=an+2a（n＋1)=(2an²＋1）／an
an²-2a（n＋1)an+1=0
an-1²-2a（n-1)an+1=0 an=(an-1²+1)/2a（n-1)
bn＝（an－1）／（an＋1）=(an-1-1)²/(an-1+1)²=bn-1^2=b1^(2＾（n－1）)
b1=1/3
bn=（1／3）＾〔2＾（n－1）〕
【一点体会】（一）利用函数f(x)是奇函数这一条件及f(1)=3。可得f(-1)=-3,===>a+b=2c+3d,a-b=2c-3d.===>a=2c,b=3d,再结合f(2)+f(-2)=0,===>6cd=0.因a=2c>1.故b=d=0.故f(x)=(2x²+1)/x.【此处用奇函数定义，f(2)+f(-2)=0.可看成是特值法，若用题中条件：f(x)有最小值2√2，计算量大，】...
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【一点体会】（一）利用函数f(x)是奇函数这一条件及f(1)=3。可得f(-1)=-3,===>a+b=2c+3d,a-b=2c-3d.===>a=2c,b=3d,再结合f(2)+f(-2)=0,===>6cd=0.因a=2c>1.故b=d=0.故f(x)=(2x²+1)/x.【此处用奇函数定义，f(2)+f(-2)=0.可看成是特值法，若用题中条件：f(x)有最小值2√2，计算量大，】（二）由a1=2,an+2a(n+1)=f(an)=(2a²n+1)/an.可得a(n+1)=(a²n+1)/(2an).a1=2,a2=5/4,a3=41/40.===>b1=1/3,b2=1/9,b3=1/81.b(n+1)/bn=bn.===>b(n+1)=b²n.(n=1,2,3,...).===>㏑b(n+1)=2㏑bn.===>[㏑b(n+1)]/㏑bn=2.(n=1,2,3,...)即数列{㏑bn}是首项为㏑(1/3),公比为2的等比数列，故通项㏑bn=[㏑(1/3)]×(2)^(n-1)=㏑[(1/3)^2(n-1)].===>bn=(1/3)^2^(n-1).(n=1,2,3,...).【注：求比b(n+1)/bn,是受b1=1/3,b2=1/9,b3=1/81的启发，在求通项时，先求出几个项看看是有必要的】。
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