作业帮设函数Y=f(x)是定义域在R+上的函数,并且满足下面三个条件(1)对任意正数X.Y,都有f(xy)=f(x)+f(y);(2)当x>1时,f(x)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 04:36:34
设函数Y=f(x)是定义域在R+上的函数,并且满足下面三个条件(1)对任意正数X.Y,都有f(xy)=f(x)+f(y);(2)当x>1时,f(x)
设函数Y=f(x)是定义域在R+上的函数,并且满足下面三个条件
(1)对任意正数X.Y,都有f(xy)=f(x)+f(y);(2)当x>1时,f(x)<0;(3) f(3)=-1
1.如果不等式f（X）+f（2-X）小于2成立,求X取值范围
2.如果存在正数K,使f（KX）+f（2-X）小于2有解,求正数K取值范围
设函数Y=f(x)是定义域在R+上的函数,并且满足下面三个条件(1)对任意正数X.Y,都有f(xy)=f(x)+f(y);(2)当x>1时,f(x)
（1）设0＜x1＜x2,则
∵x,y对任意实数都有：f（xy）=f（x）+f（y）
既然x,y可以是任意实数,那么令x=x2/x1,y=x1有：
f（（x2/x1）x1）=f（x2/x1）+f（x1）
即：f（x2）=f（x2/x1）+f（x1）
∴f（x1）-f（x2）=f（x1）-[f（x2/x1）+f（x1）]=-f（x2/x1）
又x＞1时,f（x）＜0
∵0＜x1＜x2,∴x2/x1＞1,∴f（x2/x1）＜0
∴-f（x2/x1）＞0
∴f（x1）-f（x1）＞0
∴f（x）在R+上是减函数；
又令x=y=1有：f（1*1）=f（1）+f（1）即：f（1）=f（1）+f（1）
∴f（1）=0
令x=3,y=1/3有：f（3*1/3）=f（3）+f（1/3）即：f（1）=f（3）+f（1/3）
又f（1）=0,f（3）=-1,∴f（1/3）=1
∴f（1/9）=f（（1/3）(1/3)）=f(1/3)+f(1/3)=2
不等式f（x）+f（2-x）＜2
∵令x=x,y=2-x有：f（x）+f（2-x）=f（x*（2-x））=f（2x-x²）
而f（1/9）=2
∴不等式f（x）+f（2-x）＜2等价于：f（2x-x²）＜f（1/9）
又f（x）在R+上是减函数；
∴不等式等价于2x-x²＞1/9
9x²-18x+1＜09-6√2＜x＜9+6√2
又f（x）定义在R+上,所以要使f（x）,f（2-x）有意义
需要x＞0,2-x＞0,0＜x＜2
∴总得：9-6√2＜x＜2
(2)根据（1）的思路：
f（kx）+f（2-x）＜2等价f（2kx-kx²）＜f（1/9）等价2kx-kx²＞1/9
k（2x-x²）＞1/9
∵x＞0,2-x＞0,∴0＜x＜2,∴2x-x²=x（2-x）＞0
∴k＞1/9（2x-x²）
又2x-x²=-（x-1）²+1≤1
∴1/（2x-x²）≥1
∴1/9（2x-x²）≥1/9
要使k＞1/9（2x-x²）有解就是有x满足此不等式,需要；k＞1/9；
评：本题难点在于能够想到利用函数单调性来解题,同时能够恰当赋值得到结果.