作业帮在一个公比的绝对值小于1的无穷等比数列中,已知各项的和为15,各项的平方和为45,则此数列的首项为
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 16:29:18
在一个公比的绝对值小于1的无穷等比数列中,已知各项的和为15,各项的平方和为45,则此数列的首项为
在一个公比的绝对值小于1的无穷等比数列中,已知各项的和为15,各项的平方和为45,则此数列的首项为
在一个公比的绝对值小于1的无穷等比数列中,已知各项的和为15,各项的平方和为45,则此数列的首项为
根据等比数列求和公式
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
则有 15=a1(1-q^n)/(1-q)
n趋近于∞,而q绝对值小于1,所以q^n趋近于0
则有
15=a1/(1-q)
而平方和则可以看为公比为q^2的等比数列
同样可等到
45=a1^2/(1-q^2)
解此二元方程组
q=2/3 或者 q=1(排除)
则a1=5
即首项为5
a(n+1)/an=q
a(n+1)²/an²=q²
数列{an²}是以a1²为首项，q²为公比的等比数列。
对于等比数列{an}
Sn=a1(qⁿ -1)/(q-1)
n->+∞时，qⁿ->0 Sn->a1/(1-q)
a1/(1-q)=15 ...
全部展开
a(n+1)/an=q
a(n+1)²/an²=q²
数列{an²}是以a1²为首项，q²为公比的等比数列。
对于等比数列{an}
Sn=a1(qⁿ -1)/(q-1)
n->+∞时，qⁿ->0 Sn->a1/(1-q)
a1/(1-q)=15 (1)
对于等比数列{an²}
Sn=a1²[q^(2n) -1]/(q²-1)
n->+∞时，q^(2n)->0 Sn->a1²/(1-q²)
a1²/(1-q²)=45 (2)
(1)²/(2)
[a1²/(1-q)²]/[a1²/(1-q²)]=225/45
(1-q²)/(1-q)²=5
(1+q)(1-q)/(1-q)²=5
(1+q)/(1-q)=5
6q=4
q=2/3
a1=15(1-q)=15×(1-2/3)=5
数列的首项为5。
收起