若a1,a2,a3线性无关.证明a1,a1+a2,a1+a2+a3 线性无关.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 04:13:55

若a1,a2,a3线性无关.证明a1,a1+a2,a1+a2+a3 线性无关.
若a1,a2,a3线性无关.证明a1,a1+a2,a1+a2+a3 线性无关.

若a1,a2,a3线性无关.证明a1,a1+a2,a1+a2+a3 线性无关.
证明:
a1,a2,a3线性无关
设k1(a1)+k2(a1+a2)+k3(a1+a2+a3)=0
(k1+k2+k3)a1+(k2+k3)a2+(k3)a3=0
因为a1,a2,a3线性无关
所以
k1+k2+k3=0
k2+k3=0
k3=0
所以k1=k2=k3=0时k1(a1)+k2(a1+a2)+k3(a1+a2+a3)=0
所以a1,a1+a2,a1+a2+a3 线性无关.

假设a1，a1+a2，a1+a2+a3 线性相关。
那么必然有一组不全为0的数组k1，k2，k3使得
k1a1+k2（a1+a2）+k3（a1+a2+a3）=0
即（k1+k2+k3）a1+（k2+k3）a2+k3a3=0

因为a1，a2，a3线性无关
所以
k1+k2+k3=0
k2+k3=0
...

全部展开

假设a1，a1+a2，a1+a2+a3 线性相关。
那么必然有一组不全为0的数组k1，k2，k3使得
k1a1+k2（a1+a2）+k3（a1+a2+a3）=0
即（k1+k2+k3）a1+（k2+k3）a2+k3a3=0

因为a1，a2，a3线性无关
所以
k1+k2+k3=0
k2+k3=0
k3=0
解方程组得到k1=0，k2=0，k3=0。这和k1，k2，k3不全为0的设定矛盾。
所以a1，a1+a2，a1+a2+a3 线性无关。

收起

证明: 设 k1a1+k2(a1+a2)+k3(a1+a2+a3) = 0
则 (k1+k2+k3)a1 + (k2+k3)a2 + k3a3 = 0
因为 a1,a2,a3 线性无关'
所以 k1+k2+k3 = 0
k2+k3 = 0
k3 = 0
得 k1=k2=k3=0
所以 a1,a2+a2,a1+a2+a3 线性无关.

若a1,a2,a3线性无关.证明a1,a1+a2,a1+a2+a3 线性无关. 若a1,a2,a3线性无关则如何证明a1+a2,a2+a3,a3+a1也线性无关又如何证明a1-a2,a2-a1,a3线性相关设n维向量a1 a2线性无关a3 a4线性无关若a1 a2都分别与a3 a4正交证明a1 a2,a3,a4线性无关证明：若向量组a1*a2*a3线性无关,刚向量a1+a2,a2+a3,a3+a1也线性无关.不好意思，应该是：则向量a1+a2，a2+a3，a3+a1也线性无关。若向量组a1,a2,a3,a4线性无关,向量组a1,a2,a3也线性无关怎么证明? 已知向量组a1,a2,a3,线性无关,证明：向量组a1+a2,a2+a3,a3+a1,线性无关已知向量组a1,a2,a3,a4线性无关,证明:a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4-a1线性无关证明线性无关证a1,a2,a3线性无关,只要证A~E.为什么? 证明：若n维向量a1不等于0,a2不能由a1线性表示,a3不能由a1,a2线性表示,则a1,a2,a3线性无关. 证明：若n维向量a1!=0,a2不能由a1线性表示,a3不能由a1,a2线性表示,则a1,a2,a3线性无关已知向量A由（a1,a2,a3）线性表示且表达式唯一,证明a1,a2,a3线性无关已知向量A由（a1,a2,a3）线性表示且表达式唯一,证明a1,a2,a3线性无关若向量组a1,a2,a3线性无关,证明向量组b=a1+2a2,b2=a2+2a3,b3=a3+2a1线性无关设向量组a1,a2,a3,线性无关.证明：向量组a1+a2+a3,a2+a3,a3也线性无关如果向量组a1,a2,a3,.,as线性无关.证明：向量组a1,a1+a2,.,a1+a2+.+as线性无关若a1,a2,a3,a4线性无关,则秩（a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4+a1) 若a1,a2,a3,a4线性无关,则秩（a1+a2,a2+a3,a3+a4,a4+a1) 证明:若已知向量组A:a1 a2 a3 线性无关,则向量组B:a1-a3 a2+2a3 a3证明:若已知向量组A:a1 a2 a3 线性无关,则向量组B:a1-a3 a2+2a3 a3也线性无关