证明:若三角形的内心与重心为同一点,则这个三角形为正三角形

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 22:53:11

证明:若三角形的内心与重心为同一点,则这个三角形为正三角形
证明:若三角形的内心与重心为同一点,则这个三角形为正三角形

证明:若三角形的内心与重心为同一点,则这个三角形为正三角形
不妨设点O是△ABC的重心
连接AO,并延长AO交BC于点D
连接BO,并延长BO交CA于点E
连接CO,并延长CO交AB于点F
则AD,BE,CF分别是边BC,CA,AB上的中线
∴S△ABD＝S△ACD,S△OBD＝S△OCD (等底同高的三角形面积相等)
∴S△ABD－S△OBD＝S△ACD－S△OCD
即S△AOB＝S△AOC
同理,可得：S△COA＝S△COB,S△BOA＝S△BOC
即S△OBC＝S△OCA＝S△OAB
过点O作OG⊥BC于点G,OH⊥CA于点H,OG⊥AB于点I
∵点O是△ABC的内心
∴OG＝OH＝OI
∵OG,OH,OI分别是△OBC,△OCA,△OAB的高
∴BC＝CA＝AB
∴△ABC是正三角形

设三角形ABC的内心、重心为M，AM的延长线交BC于D，则AD垂直平分BC，易知AB=AC,同理可得，AB=BC=AC，故三角形ABC为正三角形。

我的解答中“易知”或许不被大多数人理解，我解释一下.AM平分∠BAC,得到∠BAD=∠CAD,AM平分BC,得到BD=CD,由正弦定理，sin∠B:AD=sin∠BAD:BD且sin∠C:AD=sin∠CAD:CD故sin∠B=sin∠C,则∠B=∠C或者∠B+∠C=180度（舍去），故∠BDA=∠CDA=90度.易证，AB=AC.

证明:若三角形的内心与重心为同一点,则这个三角形为正三角形证明:若三角形的内心与重心为同一点,则这个三角形为正三角形最好配个图说明若三角形的内心与重心为同一点,求证：这个三角形为正三角形若三角形的内心与重心为同一点,求证：这个三角形为正三角形若三角形的内心和中心为同一点,求证:这个三角形为正三角形重心一点与三角形三顶点连线三等分三角形面积此点是否为重心自己解答越快越好请从此点的条件证明出此点为重心而非问重心性质即寻求判定方法数学语言证明与三角形外心、内心、重心相关的关系和定理. 三角形内心外心重心的含义与应用?三角形内心外心重心涉及到的公式有哪些啊? 如何证明三角形重心定理重心到顶点的距离与重心到一边的距离比为2:1 在三角形abc中,bc=5,m和i分别是三角形abc的重心与内心,若mi平行于bc,则ab+ac为多三角形的重心证明证明：三角形的三条中线相交于一点,此点称为三角形的重心．重心到顶点与到对边中点的距离之比为2∶1．是否能用向量的知识证明? 怎么证明三角形的三高相交与同一点三角形的重心和内心交于一点、求证这个三角形是正三角形如题、几何学中巴三角形三条中线的交点叫做重心.物理学中也有重心的概念.物理学中也有重心的概念.均匀的三角形薄片板的重心是不时与几何学上的重心位于同一点上? 正三角形的中心、重心、外心、内心,是同一点吗?能证否？三角形的内心,重心,外心的性质 . 三角形垂心外心内心重心的特征