函数y=2+sinx/2-sinx的值域

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 17:47:55

函数y=2+sinx/2-sinx的值域
函数y=2+sinx/2-sinx的值域

对y求导

y'=2+(cos(x/2))/2-cosx

当y'=0时包含最值点

解得此时cos（x/2）=（1+33^0.5）/8或（1-33^0.5）/8

当cos（x/2）=(1+33^0.5）/8时

sin(x/2)=(15-33^0.5)/32)^0.5或-(15-3^0.5)/32)^0.5

sin(x)=((1+33^0.5）/4)*(15-33^0.5)/32)^0.5或-((1+33^0.5）/4)*(15-33^0.5)/32)^0.5

此时y=2+(15-33^0.5)/32)^0.5-((1+33^0.5）/4)*(15-33^0.5)/32)^0.5

或y=2-(15-33^0.5)/32)^0.5+((1+33^0.5）/4)*(15-33^0.5)/32)^0.5

当cos（x/2）=(1-33^0.5）/8时

sin(x/2)=(15+33^0.5)/32)^0.5或-(15+3^0.5)/32)^0.5

sin(x)=((1-33^0.5）/4)*(15+33^0.5)/32)^0.5或-((1-33^0.5）/4)*(15+33^0.5)/32)^0.5

此时y=2+(15+33^0.5)/32)^0.5-((1-33^0.5）/4)*(15+33^0.5)/32)^0.5

或y=2-(15+33^0.5)/32)^0.5+((1-33^0.5）/4)*(15+33^0.5)/32)^0.5

比较此四个y得

最小值为2-(15+33^0.5)/32)^0.5+((1-33^0.5）/4)*(15+33^0.5)/32)^0.5

最大值为2+(15+33^0.5)/32)^0.5-((1-33^0.5）/4)*(15+33^0.5)/32)^0.5

附图一张

化为 y=2+sinx/2-（1-2(sinx/2）^2)
=2(sinx/2)^2+sinx/2+1
归结为求y=2t^2+t+1,当t属于[-1,1]时y的取值范围。