作业帮已知数列{An}的前一项和Sn=-(3/2)(n*n)+(205/2)n,求数列{|An|}的前n项和Tn?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 20:44:24
已知数列{An}的前一项和Sn=-(3/2)(n*n)+(205/2)n,求数列{|An|}的前n项和Tn?
已知数列{An}的前一项和Sn=-(3/2)(n*n)+(205/2)n,求数列{|An|}的前n项和Tn?
已知数列{An}的前一项和Sn=-(3/2)(n*n)+(205/2)n,求数列{|An|}的前n项和Tn?
An=Sn-S(n-1)
=-(3/2)(n*n)+(205/2)n-{-(3/2)(n-1)^2+(205/2)(n-1)}
=-3n+2
对任意n,An
解:∵Sn=-(3/2)(n*n)+(205/2)n,
S1=-(3/2)*1^2+(205/2)*1,
S2=-(3/2)*2^2+(205/2)*2,
S3=-(3/2)*3^2+(205/2)*3,
S4=-(3/2)*4^2+(205/2)*4,
s5=-(3/2)*5^2+(205/2)*5,
..........................
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解:∵Sn=-(3/2)(n*n)+(205/2)n,
S1=-(3/2)*1^2+(205/2)*1,
S2=-(3/2)*2^2+(205/2)*2,
S3=-(3/2)*3^2+(205/2)*3,
S4=-(3/2)*4^2+(205/2)*4,
s5=-(3/2)*5^2+(205/2)*5,
........................
Sn=-(3/2)*n^2+(205/2)*n,
∴数列{|An|}的前n项和Tn为
Tn=S1+S2+S3+S4+S5+.....+Sn.
从上面等式两边相加可得到
S1+S2+S3+S4+S5+.....+Sn=-(3/2)*(1^2+2^2+3^2+4
^2+5^2+...+n^2)+(205/2)*(1+2+3+4+5+...+n),
现在要求求得
1^2+2^2+3^2+4
^2+5^2+...+n^2)等于多少?
∵有(n+1)^3-n^3=(n+1-n)[(n+1)^2+n(n+1)+n^2]=3*n^2+3n+1
……………………………………………
5^3-4^3=3*4^2+3*4+1
4^3-3^3=3*3^2+3*3+1
3^3-2^3=3*2^2+3*2+1
2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
将上面n个等式相加，得
(n+1)^2-1=3*(1^2+2^2+3^2+……+n^2)+3(1+2+3+……+n)+n
其中1+2+3+……+n=n(n+1)/2
带入前式化简得
1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
∴数列{|An|}的前n项和Tn为
Tn=S1+S2+S3+S4+S5+.....+Sn=-(3/2)*[n(n+1)(2n+1)/6 ]+205/2*[n(n+1)/2 ].
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